1. Цель работы

Изучить статистические закономерности на примере рас­пределения молекул идеального газа по скоростям.

2. Приборы и принадлежности

Механическая модель для изучения распределения моле­кул по скоростям, линейка, пшено, отвес, компьютер.

3. Теоретическая часть

3.1.Статистический метод описания систем с очень большим числом частиц

В молекулярной физике и термодинамике исследуются системы, состоящие из огромного числа частиц. Для описания свойств таких систем вводится ряд параметров, связанных со свойствами частиц, входящих в рассматриваемую систему. Та­кими параметрами являются давление, температура, плотность и др. Понятия давления, температуры, плотности и др. приме­нимы лишь к системам, состоящим из большого числа хаотиче­ски движущихся частиц, и теряют физический смысл для не­скольких частиц.

Закономерности, обусловленные массовостью участвую­щих в явлении частиц и хаотичностью их движения, называют­ся статистическими или вероятностными. Эти закономерности характеризуют особенности случайных явлений. Случайными называются явления (события), возможность осуществления которых при выполнении определенных условий предсказать нельзя. Что выпадет в результате бросания монеты, орел или решка? Заранее это определить нельзя. Однако, если бросаний произведено очень много, то числа выпавших орлов и решек окажутся почти равными. Это равенство выполняется тем точ­нее, чем больше произведено бросаний. В этом проявляется статистическая закономерность.

Случайные события исследуются методами теории веро­ятностей. Несмотря на невозможность предсказания исхода случайного события в серии большого числа случайных собы­тий, можно количественно охарактеризовать возможность на­ступления интересующего нас явления.

Под вероятностью Р(А) случайного события А понимается предел отношения числа случаев п, при которых интересующее нас событие имело место, к числу всех возможных событий т, проявивших себя в процессе эксперимента, когда число испы­таний стремится к бесконечности:

P(A) = . (12.1)

Событие, вероятность осуществления которого равна еди­нице, называется достоверным. Примером такого события яв­ляется извлечение белого шара из урны, в которой находятся шары только белого цвета. Событие, вероятность наступления которого равна нулю, называется невозможным. Например, достать красный шар из урны с зелеными и желтыми шарами можно с нулевой вероятностью. Вероятность интересующих нас событий можно вычислить лишь в том случае, когда из­вестно, сколько событий и какого типа возможны.

Так при изучении систем, состоящих из большого числа частиц, практически невозможно определить параметры (коор­динаты, энергию, скорость и др.) какой-либо частицы в опреде­лённый момент времени. Однако к таким системам применим статистический метод описания. Этот метод оперирует лишь усреднёнными значениями динамических характеристик этих частиц и устанавливает их взаимосвязь с макроскопическими параметрами системы в целом. Статистический подход, осно­ванный на законах классической механики, вполне удовлетво­рительно работает при описании вещества, находящегося в том или ином агрегатном состоянии (газ, жидкость, твёрдое тело, плазма). Одним из важнейших его результатов является под­тверждаемое экспериментально вполне определённое распреде­ление молекул по энергиям или скоростям. Для газов при низ­ких давлениях (близких по свойствам к идеальному газу) это распределение зависит только от температуры и массы молекул. Теоретически оно было получено Джеймсом Максвеллом в 1869 г. и носит его имя.

Рассмотрим один из стандартных методов статистиче­ского описания некоторой непрерывной физической величи­ны х. Пусть в процессе её измерения получен достаточно большой ряд значений: x₁, х₂, х₃, ... х_n. Если теперь весь воз­можный диапазон изменения этой величины от x_min до х_mах разбить на т равных промежутков Δх = (х_mах - x_min )/m, все из­меренные величины , попадут в «свои» ячейки . Если обо­значить N_j число величин х_i, попавших в ячейку , то полу­ченный результат можно представить в виде графика N_j ), называемого гистограммой или распределением величи­ны х. Примеры таких гистограмм представлены на рис. 12.1. При небольшом общем числе измерений N вид гистограммы даёт лишь приблизительную картину более или менее веро­ятного попадания измеренной величины х, в какой-либо ин­тервал (рис. 12.1, а).

При большом числе измерений статистические законо­мерности проявляются в полной мере, что позволяет взять меньшие интервалы , и достаточно точно определить вели­чины x_min, х_mах, (наиболее вероятное значение х) и (среднее значение х, которое равно лишь для симметрич­ных гистограмм распределения). Пример гистограммы с большим числом измерений той же самой величины x при­ведён на рис. 12.1, б.

Рис. 12.1. Примеры гистограмм для некоторой величины х

Если число измеренных значений N величины х неограни­ченно увеличивать, а ширину интервалов уменьшать, то гис­тограмма превращается в плавный график функциональной за­висимости f(х), который называется функцией распределения величины х. В этом случае оказывается полезнее пользоваться не целыми числами значений ΔN, попавших в очень малый ин­тервал Δх, а произвести так называемую процедуру нормиров­ки функции распределения f(x). Эту процедуру математически можно записать как

=1. (12.2)

Физически это означает, что функция f(x) имеет смысл ве­роятности попадания измеренного нами значения величины х в единичный интервал окрестности конкретного х, а также то, что х обязательно (с вероятностью, равной единице) обнаружи­вается в интервале от x_min до х_mах (или от - до + ). Понятно, что такое изменение пределов интегрирования не меняет ре­зультата. Графически это означает, что площадь под кривой f(х) равна единице (нормировка на 1).