2.2 Представление операндов в прямом, обратном и дополнительном кодах

При выполнении арифметических операций с двоичными числами операнды представляются специальными кодами, содержащими информацию о знаке числа. Под знаковый, как правило, отводят старший двоичный разряд числа: если он равен нулю – число положительное, единице – отрицательное. Простое добавление знакового разряда слева к двоичному представлению числа означает, что число представлено в прямом коде. Числа с одинаковым знаком в прямом коде складываются довольно просто по правилам арифметики. Однако сложение чисел с разными знаками (т.е. фактически реализация операции вычитания) выполняется сложнее. Сложим, например, два числа 12₁₀ и –7₁₀:

.

Как видно, вместо того, чтобы получить 5, в результате мы по­лучили бессмысленную информацию. Более простым является вычитание чисел в обратном коде. Этот код (для отрицательных чисел) получается инвертированием всех разрядов прямого кода, кроме знакового. Попробуем повторить предыдущее действие, используя обратный код:

.

Как видно, для получения искомого результата разряд, возникаю­щий в результате переноса из старшего разряда результата, необходимо прибавить к младшему разряду результата. В этом заключается правило вычитания чисел в обратном коде. Неудобным является то, что правила сложения и вычитания (т.е. сложения чисел с разными знаками) в обратном коде являются различными. Для унификации правил вводится так называемый дополнительный код числа: для положительных чисел его представление совпадает с прямым кодом, для отрицательных берется обратный код, к младшему разряду которого добавляется единица.

Разряд, возникающий в результате переноса из старших разрядов, просто игнорируется.

2.3. Основные логические функции

Математический аппарат, используемый при проектировании ЦУ, основан на алгебре-логике (булевой алгебре). Основными функциями булевой алгебры являются дизъюнкция, конъюнкция и инверсия. Дадим их краткие определения. Дизъюнкция – это логическое сложение (обозначается знаком V и читается ИЛИ). Конъюнкция – логическое умножение (обозначается знаком  и читается И). Инверсия – отрицание (обозначается чертой над аргументом и читается НЕ).

Данные операции выполняются по вполне определенным правилам, а именно:

На основе этих постулатов построены тождества булевой алгебры, приведенные в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Логические тождества

№ п/п	Название	Аналитическая запись
1	2	3
1.	Закон сложения с 1	Х V X = 1
2.	Закон сложения с нулем	X V 0= X
3.	Законы тавтологии	X V X = X
4.		X  X = X
5.	Закон умножения на 1	X  1= X
6.	Закон умножения на нуль	X  0 = 0
7.	Законы дополнительности	X V X = X
8.		X  X = X

Окончание табл.2.2

9.	Закон двойного отрицания	X = X
10.	Сочетательные зоны	X1 V X2 V X0 = X2 (X1 V X0)
11.		(X2  X1)  X0 = X2  (X1  X0)
12.	Переместительные законы	X1 V X0 = X0 V X1
13.		X1 X0 = X0X1
14.	Распределительные законы	(X1 V X0)  X2 = X1  X2 V X0  X2
15.		X2  X1 V X0 = (X2V X0)  (X1 V X0)
16.	Теорема Моргана	X1  X0 = X0  X1
17.		X1  X0 = X0 V X1