1.2. Симметрия кристаллов

Симметрия – важное свойство кристаллов. Расположение узлов в пространственной решетке подчиняется законам симметрии. Для кристаллического пространства симметрическим преобразованием будет называться операция, посредством которой узлы пространственной решетки совмещаются сами с собой, и невозможно различить кристаллическое вещество до такого преобразования и после. Наиболее простыми симметрическими преобразованиями являются трансляция и поворот. Инвариантность кристалла относительно трансляции на вектор решетки называют трансляционной симметрией. Трансляционную симметрию можно положить в основу определения кристалла. А именно, определить кристалл как структуру из атомов, которая обладает трансляционной симметрией.

Симметрические преобразования производятся относительно элементов симметрии. К простым элементам симметрии относятся плоскость симметрии, центр симметрии и ось симметрии. Комбинация этих простых элементов симметрии с трансляцией приводит к появлению сложных элементов симметрии: плоскостей скольжения и винтовых осей симметрии.

Ось вращения n-го порядка

Если в результате поворота вокруг некоторой оси на угол α = 360^°/n (n - целое число, превосходящее единицу) кристалл оказался в состоянии, тождественном первоначальному, то говорят, что он обладает осью симметрии n-го порядка. Соответствующая ось симметрии обозначается как C_n. Кристаллическая решетка (фигура, обладающая трансляционной симметрией) может иметь только оси симметрии порядков 2 (180º овал), 3(120º треугольник), 4(90º квадрат), 6(60º шестиугольник). Ось первого порядка (поворот на 360 º) эквивалентна тождественному преобразованию.

Пример: Кубическая решетка имеет три плоскости симметрии, параллельные граням, шесть диагональных плоскостей симметрии, перпендикулярных диагоналям граней, три оси четвертого порядка, шесть осей второго порядка, четыре оси третьего порядка и центр симметрии в центре куба.

1.3.Классификация кристаллов.

Использование законов симметрии позволяет провести классификацию кристаллов. Существует 7 кристаллографических систем (сингонии), различающиеся между собой соотношениями между параметрами решетки (a, b, c и , , ). Кроме этих 7 типов решеток можно получить новые решетки. В 1848 г. французский ученый Браве показал, что изученные трансляционные структуры и элементы симметрии позволяют выделить 14 типов кристаллических решеток. Эти 14 типов решеток называют решетки Браве. Удобно классифицировать решетки Браве, выбирая элементарную ячейку (вообще говоря, условную) в виде наименьшего параллелепипеда, который подобен параллелепипеду, построенному на векторах основных трансляций и обладает полной точечной симметрией решетки. При этом каждой кристаллической системе принадлежат от одного до четырех типов решеток (различающихся своими пространственными группами симметрии)

Таким образом, для решеток Браве имеется 7 точечных групп симметрии, которым соответствуют 7 кристаллических систем (сингоний), и 14 пространственных групп (см. таблицу 1.1). Для кристаллических структур (т. е. для решеток Браве с базисом произвольной симметрии) имеется 32 точечные группы, которым соответствуют 32 кристаллических класса, и 230 пространственных групп.

Таблица 1.1. Решетки Браве.

№	Сингония	Параметры	Тип решетки
			П	БЦ	ОЦ	ГЦ
1	Триклинная	a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠  ≠ 90°
2	Моноклинная	a ≠ b ≠ c,  =  = 90°≠ 
3	Ромбическая (орторомбическая)	a ≠ b ≠ c,  =  =  = 90°
4	Тетрагональная	a = b ≠ c,  =  =  = 90°
5	Кубическая	a = b = c,  =  =  = 90°
6	Тригональная (ромбоэдрическая)	a = b = c, 120° =  =  ≠ 90°
7	Гексагональная	a = b ≠ c,  =  = 90°,  = 120°

П – примитивная решетка. Узлы расположены в вершинах параллелепипеда, выбранного в качестве элементарной ячейки;

ОЦ – объемноцентрированная. Узлы расположены в вершинах параллелепипеда и в его центре (т. е. в точке пересечения его пространственных диагоналей);

ГЦ – гранецентрированная решетка. Узлы расположены в вершинах параллелепипеда и в центрах его граней (т. е. в точках пересечениядиагоналей соответствующих параллелограммов);

БЦ – базоцентрированная решетка. Узлы расположены в вершинах параллелепипеда и в центрах двух его противоположных граней;

Р – ромбоэдрическая решетка.

а	б
Рис. 1.7. Элементарная ячейка гексагональной решетки Бравэ

Гексагональная решетка Бравэ выделена в силу наличия в ней оси симметрии 6-го порядка. Элементарная ячейка этой решетки представляет собой частный случай примитивной моноклинной решетки Бравэ, в основании которой лежит ромб с углом 60° (120°). Для того чтобы подчеркнуть принадлежность этой ячейки к гексагональной системе гексагональной системе часто добавляют к ней еще ячейки, получая таким образом ячейку в форме гексагональной призмы (рис.1.7) Если посмотреть на совокупность таких ячеек сверху, то видно, что эту совокупность ромбов можно представить как набор правильных шестиугольников (рис. 1.7б).