2. Методика вивчення арифметичної прогресії, її зміст, властивості, застосування

Часто пояснюють, що «арифметичною прогресією називається такий ряд чисел, в якому кожне число, починаючи з другого, дорівнює поперед ньому, до якого додано однакове стале для цього ряду число (додатне або від'ємне)» Це означення треба вважати застарілим, бо слово «ряд» тепер не є синонімом «послідовності»'. Краще дати таке означення: арифметичною про­гресією називається кожна числова послідовність, задана рекурентною формулою а_n=а_n-1 +d , де d — стале число. Це число називається різницею прогресії.

Можна зробити наголос і на функціональному трактуванні арифметичної прогресії, тоді краще починати пояснення так:

— Ми знаємо з означення числової послідовності, що це функція, задана на множині натуральних чисел. Але функції бувають лінійні, квадратні та інші. Зараз ми детально розглянемо лінійну функцію, задану на множині натуральних чисел.

Відомо, що лінійною називають функцію, задану рівністю у = ах + b. Якщо ж у цій формулі аргумент х пробігатиме тільки множину натуральних чисел, значення функції становитимуть арифметичну прогресію. Правда, аргумент функції, заданої на множині натуральних чисел, частіше позначають буквою п, а не х. Тому можна сказати і так: послідовність, задану формулою y=an+b де а і b — дані числа, а п — змінна, яка може набувати тільки натуральних значень, називається арифметичною прогресією. Наприклад, формула у = Зп+ 2 визначає таку арифметичну прогресію:

5, 8, 11, 14, 17

Після цього можна ввести поняття різниці арифметичної прогресії, записати арифметичну прогресію у вигляді

а₁, а₁+d, , а₁+2d, а₁+3d,

звідки індуктивно дістали формулу її загального члена:

a_n=а₁+(n-1)d

Але можна вивести її також з рекурентної формули а_n=а_n-1 +d. Для цього треба записати формулу при п = 2, 3,..., n і додати п — 1 рівностей:

а₂=а₁+d

а₃= а₂+2d

...

a_n-1= a_n-2+d

a_n= a_n-1+d

a_n=а₁+(n-1)d

Бажано дати учням і символічне позначення арифметичної прогресії , Нагадуємо, що кілька перших членів послідовності не визначають її однозначно. Тому, коли написано, наприклад,

3, 11, 19, 27, 35, 43

це ще не означає, що написано арифметичну прогресію. Якщо ж перед цією послідовністю поставити знак  , то дістанемо цілком визначену послідовність.

Сума n-членів арифметичної прогресії Формулу

S_n=(a₁+a_n) n/2

виводять однаково. Спочатку показують, що сума двох членів cкінченної прогресії, рівновіддалених від початку і кінця, дорівнює сумі першого і останнього членів. У 9 класі перед цим краще розглянути конкретний приклад.

— Нехай треба знайти суму членів такої скінченної арифметичної прогресії:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.

Це можна зробити і послідовним додаванням. Проте краще згрупувати ці числа: перше з останнім, друге з передостаннім і т. д.

S=(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20 4=80

У цій арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від початку і кінця, рівні між собою. Це і дало можливість спростити обчислення. Таку властивість має кожна арифметична прогресія.

Після цього можна навести і загальнІ міркування.

Розглянемо довільну арифметичну прогресію

а_1, а₂ a_k а_n-+1, a_n-1,a_n

в якої а_к k-й член від початку (k-довільне натуральне число, менше від n). Тоді k-й член від кінця буде а_n-k+1, Покажемо, що a_к+а_n-к+1= а₁ + a_n

Справді: a_к= а₁+(k-1)d, а_n-к+1= а₁+(n-k)d

Отже, a_к+ а_n-к+1= а₁+(k-1)d+ а₁+(n-k)d= а₁+(( а₁+(n-1)d)= а₁ + a_n

Теорему доведено. Це доведення учням дається нелегко, тому в слабких класах можна замість нього провести міркування за індукцією.

— Запишемо п перших членів, довільної арифметичної прогресії

а₁, а₁+d, , а₁+2d, а₁+3d, а₁+(k-1)d+ а₁+(n-k)d, а₁+(n-1)d,

Звідси можна визначити формулу для знаходження суми n- членів арифметичної прогресії:

Отже, S_n=((a₁+a_n) n)/2