Визначення загального члена послідовності

Але як усе-таки визначити загальний член хоч однієї з послідовностей, що мають задані перші члени? Учням ніяких правил для цього можна не давати, але й важких вправ на визначення загального члена послідовності також їм не треба пропонувати.

Але вчителеві треба знати й загальний спосіб розв'язування таких вправ. Нехай, наприклад, вимагається визначити загальний член послідовності

6, 9, 14, 21, 30, 41,

Щоб розв'язати задачу, учень змушений добирати різні формули і випробовувати їх. Не виключено, що йому так і не вдасться знайти потрібну формулу. Вчитель може діяти цілеспрямованіше. Тут треба записати послідовність різниць суміжних членів даної послідовності, а потім другу послідовність різниць і т. д., поки не дістанемо послідовність різниць з однаковими членами. Пишемо: Як бачимо, всі члени

6 9 14 21 30 41

3 5 7 9 11

2 2 2 2

другої послідовності різниць однакові. Це свідчить про те, що загальний член послідовності (найпростіший) є многочленом другого степеня

Записуємо цей загальний член з невизначеними коефіцієнтами:

.U_n=an²+bn+c

Залишається визначити коефіцієнти а, Ь, с. Це можна зробити так. Оскільки, підставляючи в цю формулу замість п числа 1,2, 3, ми повинні дістати відповідно значення 6, 9, 14 (перші члени даної послідовності), то маємо систему

а+b+с=6,

4а + 2b+c= 9,

9a+3b+c=14,

Розв'язавши її, дістанемо а = 1, 6 = 0, с = 5. Отже, найпростіший загальний член даної послідовності U_n=n²+5

Способи задання послідовностей.

Тільки після того, як учні добре зрозуміють, що таке послідовність, її загальний член, можна розповісти їм про різні способи задання послідовностей. При цьому бажано підвести їх до функціонального трактування цього поняття.

— Згадаймо означення функції. Функцією називається! відповідність, при якій кожному елементові однієї множини відповідає один елемент другої множини.

А в числовій послідовності кожний член поставлений у відповідність його номеру — натуральному числу. Так, коли перший, другий, третій і т. д. члени послідовності дорівнюють 6, 9, 14, 21, 30, 41, ... , то це можна розглядати як відповідність:

1 2 3 4 5 6

6 9 14 21 30 41

Отже, нескінченну числову послідовність можна розглядати як функцію, задану на множині всіх натуральних чисел. Відомо, що функцію можна задати аналітично, таблично, графічно. Аналогічними способами можна задавати і послідовності.

Наприклад, ми можемо сказати: “послідовність, загальний член якої а_n=2n-1”.Цим самим ми задали послідовність. Такий спосіб задання послідовності за допомогою формули загального члена можна назвати аналітичним способом. Цю послідовність можна задати і з допомогою такої таблиці:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	...
an	1	3	5	7	9	11	ІЗ	15	...

Правда, без верхнього рядка (значень аргументу п) тут можна обійтись, бо ці значення збігаються з порядковими номерами членів послідовності. Можна записати це простіше:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

Нова програма вимагає ознайомити учнів також із заданням числових послідовностей за допомогою рекурентних формул, що дають можливість визначати будь-який член цієї послідовності через попередні її члени. Наприклад, рекурентна формула u_n=u_n-1+u_n-2 послідовність, в якої кожний член,починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх. Таких послідовностей є безліч, наприклад:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29

1, -1, 0, -1, -1, -2, -3, ... .

Якщо ми, крім формули u_n=u_n-1+u_n-2 вкажемо і два перших члени послідовності, то цим самим буде визначено однозначно послідовність. Так, ця формула разом з додатковою умовою u₁ = 1, u₂ = 1 визначає відому послідовність Фібоначчі:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21

Рекурентна формула u_n=u_n-1+2п при u₁=3 визначає послідовність

З, 7, 13, 21, 31, 43 , n²+n+1, Рекурентна формула u_n=u_n-1+2п при и₁= —1 визначає послідовність -1, 3, 9, 17, 27, n² + n -3,