Методика вивчення послідовностей в основній школі

Зміст

Вступ

1.Введення поняття послідовності

2.Методика вивчення арифметичної прогресії, її зміст, властивості, застосування.

3.Методика вивчення геометричної прогресії,її зміст, властивості, застосування.

5.Використана література

ВСТУП

Перші уявлення про арифметичну і геометричну прогресії мали ще стародавні народи. У клинописних вавилонських табличках і єгипетських папірусах є задачі і вказівки, як їх розв’язувати. У давньоєгипетському папірусі Ахмеса ( бл. 2000 р. до н. е.) є така задача :”Нехай тобі сказано :поділити 10 мір ячменю між 10 людьми так, щоб різниця мір ячменю, одержаного кожною людиною і її сусідом , дорівнювала 1/8 міри.”

У цій задачі йдеться про арифметичну прогресію. Умову цієї задачі, користуючись сучасними позначеннями , можна записати так: S₁₀ =10 , d=1/8, знайти a₁ a_2,.., a_10.

В одному давньогрецькому папірусі є така задача:

” У кожному із 7 будинків по 7 котів, кожний кіт з’їдає7 мишей, кожна миша з’дає 7 колосків,кожний з них ,коли посіяти зерно, дає 7 мір зерна. Треба підрахувати суму чисел будинків, котів,мишей,колосків і мір зерна.”

Розв’язування цієї задачі веде до суми: 7+7²+7³+7⁴+7⁵, тобто суми п’яти членів геометричної прогресії.

Про прогресії і їх суми знали давньогрецькі вчені. Так, їм були відомі формули суми n перших чисел послідовності натуральних парних і непарних чисел.

Архімед ( 3 ст. до н.е.) для знаходження площ і об’ємів фігур застосував ” атомістичний метод ”, для чого йому треба було знаходити суми членів деяких послідовностей. Він вивів формулу суми квадратів натуральних чисел.

1²+2²+3²+...+n²=1/6n( n+1 )(2n+1),

показав,як знайти суму нескінченної спадної геометричної прогресії 1+1/4+1/4²+… .

Термін ”прогресія” (від латинського progressio, що означає ”рух уперед”), запровадив римський учений Боецій, його розуміли ширше , як нескінченну числову послідовність. Назва ”арифметична” та ”геометричну”були перенесені на прогресії з теорії неперервних прогресій, які вивчали стародавні греки.

Числові послідовності вивчаються у другій чверті у 9 класі. Колись арифметична і геометрична прогресії вивчались паралельно, зараз вивчають окремо арифметичну і геометричну прогресії.

Орієнтовно тему: ”Числові послідовності”можна розбити по – уроках так:

1. Числові послідовності. (2 год.) 2. Арифметична прогресія, її властивості.Фомула n-го члена арифметичної прогресії(2 год.)

3. Сума перших n-членів арифметичної прогресії. ( 1 год. )

4. Розв’язування задач. Самостійна робота. (2 год. )

5. Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена геометричної прогресії.(2 год. )

6. Сума перших n-членів геометричної прогресії.(1 год. )

7. Нескінченно-спадна геометрична прогресія, її сума. Періодичні дроби. (2 год.)

8. Розв’язування задач і вправ. Самостійна робота.(2 год.)

9 Тематична контрольна робота. (1 год,)