3. Аналитический метод

Этот метод заключается в том, что на основе общих законов физики, химии и других наук составляют дифференциальные уравнения, описывающие целый класс подобных явлений.

Преимущество аналитического метода заключается в том, что полученные дифференциальные уравнения справедливы для всего класса явлений (теплопроводность, теплообмен, массоперенос ит. д.).

Однако этот метод имеет существенные недостатки:

- сложность аналитического описания большинства технологических процессов, особенно процессов, сопровождающихся тепло- и массопереносом; этим объясняется то обстоятельство, что подобных расчетных формул известно сегодня мало;

- невозможность во многих случаях получить решение дифференциальных уравнений аналитическим путем с помощью известных в математике формул.

4. Теория подобия

Теория подобия — синтетический метод исследования явлений, учение о методах научного обобщения экспериментов. Он дает возможность использовать преимущества экспериментального и аналитического методов и одновременно устранять их недостатки. Это достигается благодаря тому, что теория подобия:

- устанавливает правила, как надо ставить опыты и как обрабатывать их результаты, чтобы при проведении небольшого числа экспериментов можно было обобщать опытные данные, получая единые уравнения для всех подобных явлений;

- использует математическую формулировку задачи и принятые условия однозначности, но при этом не требуется решения задачи аналитическим путем.

Теория подобия базируется на трех теоремах, которые отвечают на три основных практических вопроса:

а) какие величины необходимо измерять при экспериментальном исследовании явления?

б) как обрабатывать результаты эксперимента, чтобы иметь возможность обобщать опытные данные для всех подобных явлений?

в) какие явления подобны изучаемому?

Теоремы подобия основаны на понятии о подобии физических явлений.

Первая теорема подобия. Эта теорема была сформулирована И. Ньютоном в 1686 г. для подобного течения двух жидкостей. Однако строгое доказательство теоремы было дано Ж. Бертраном в 1848 г.

Согласно этой теореме при подобии систем всегда могут быть найдены такие безразмерные комплексы величин (критерии подобия), которые для сходственных точек данных систем одинаковы по величине, т. е. подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия. Теорема доказывается второго закона Ньютона.

Первая теорема подобия: у подобных явлений индикаторы (константы) подобия равны единице.

Первая теорема подобия устанавливает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых требуется обобщить: надо измерять те величины, которые входят в критерии подобия.

Вторая теорема подобия. Она была доказана в 1911 г. русским ученым А. Федерманом и в 1941 г. американским ученым Е. Букингемом. Согласно этой теореме решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т. е. между критериями подобия.

Третья теорема подобия. Она устанавливает необходимые условия для того, чтобы явления оказались подобными друг другу. Формулировка ее была дана М. В. Кирпичёвым и А. А. Гухманом в 1933 г.

Эта теорема может быть сформулирована следующим образом: подобны те явления, условия однозначности которых подобны, а критерии подобия, составленные из уравнений однозначности, численно равны.

Из формулировки теоремы следует: подобные явления протекают в геометрически подобных системах; граничные условия подобны; численные значения коэффициентов и физических параметров известны; для рассматриваемого явления можно составить дифференциальные уравнения, для которых установлена единственность решения