Бет және оны параметрлеу

Беттер теориясын зерттеу үшін, қисықтар теориясын зерттегеніміздей беттің қарапайым бөлігі түсінігін анықтап, беттің топологиялық анықтамасын береміз.

Егер евклидтік кеңістігінің жиыны топологиялық бейнелеуде қарапайым ω облысысының бейнесі болса, онда Ω қарапайым бет деп аталады.(18 сызба)

Аналитикалық геометрия және математикалық анализ курсынан бет

F(x,y,z)=0 (1)

Айқындалмаған теңдеуімен берілетіндігін белгілі. Егер (1) теңдеу Z (не x, не y) бойынша шешілсе, демек,

Z=f(x,y) (2)

болса, онда (2) теңдеу беттің айқын теңдеуі деп аталады.

y=f(x) функциясының графигін құрғандай z=f (x,y) теңдеуін де геометриялық тұрғыдан түсіндіруге болады. Кеңістікте тік бұрыш координаталар системасын алайық. жазықтығында x пен y-тің өзгеру облысын G деп белгілеп, сосын M′ (x,y) нүктесінде тұрғызылған перпендикуляр түзудің бойын z=f (x,y) мәнін өлшеп салсақ, сонда пайда болған нүктелердің геометриялық орны z=f (x,y) функциясының кеңістіктегі графигі болады. ω облысындағы (α жазықтығында) нүктесінің декарттық координаталары (u,ν) , ал Ω облысында (u,ν) нүктесіне сай М нүктесінің координаталары (x,y,z) болсын, сонда

x=x(u,ν) , y=y(u,ν) , z=z(u,ν) (3)

тәуелділігінің орындалатыны анық. (3) теңдеу Ω бетінің, параметрлік теңдеуі деп аталады.

Беттің жазық облысқа бейнеленетін бөлігін қарастырайық, сонда жазықтықтың нүктесіне беттің M нүктесі сейкес болып, нүктесінің тік бұрышты координаталар системасындағы кооридинаталары (u,ν) болсын. Егер осындай бейнелеу (сәйкестік) берілсе, онда бет параметрленеді деп, ал (u,ν) шамалары беттегі М нүктесінің қисық сызықты немесе гаусстық координаталары деп аталады, сонымен, (u,ν) счандар кеңістіктегі (x,y,z) нүктесін анықтайды.

Топологиялық бейнелеудің үзіліссіздігі мен бір мәнділігінен жазықтықтағы кез келген сызыққа беттен белгілі бір сызықтың сәйкес келетіндігі шығады, дербес жағдайда жазықтықтағы

u=const, ν=const

түзулеріне беттен координаталық сызықтар деп аталатын қисықтар сәйкес келеді, бұл координаталық қисықтарды деп белгілейміз. Бейнелеу бір мәнді болғандықтан, беттің әрбір нүктесінен , координаталық сызықтар үйірінің әрқайсысынан тек бір ғана қисық өтеді. (19 сызба).

жазықтығындағы u=const, ν=const түзулеріне сәйкес беттегі , қисықтары координаталық торшалар деп аталады.

(3) теңдеуді бір векторлық теңдеу арқылы былай жазуға болады:

(4)

себебі параметрленген беттің M нүктесінің (u,ν) қисық сызықты координаталары осы нүктенің орналасуын анықтайды, демек, бұл қисық сызықты координаталар M нүктесінің радиус-векторының да мәнін анықтайды, олай болса, параметрленген беттің радиус-векторы осы нүктенің қисық сызықты координаталарының функциясы болады.

кеңістігіндегі Ω бетінің кез келген нүктесінің U шағын аймағында x=x(u,ν) , y=y(u,ν) , z=z(u,ν) функциялары класына (k-сыншы ретке дейінгі туындылары табылып, олар үзіліссіз) болса, онда Ω беті класты жүйелі бет деп аталады. Дербес жағдайда, егер k=1 болса, онда мұндай бет жатық бет деп аталады. Беттің U аймағы кеңістігінің қарапайым облысына бір мәнді бейнеленгендіктен,

rang (5)

ал бұл (5) теңдік , векторлары коллинеар емес екенін білдіреді.

Егер Ω бетінің M(u,ν) нүктесі үшін және векторлары коллинеар болса, онда мұндай нүкте беттің ерекше нүктесі деп аталады. Егер

(u,ν) , =ψ(u,ν) (6)

Түрлендіруін енгізсек, онда беттің параметрленуі де өзгереді, сондықтан беттің радиус-векторын ( ) жаңа параметрі бойынша өрнектейміз. Беттің класты жүйелігін сақтау үшін және функцияларын да класты деп ұйғаррамыз. (6) теңдеуден (u,ν) параметрінің табылу шарты былай жазылады:

0

демек, (3) теңдеуден алынатын

, ,

Екінші ретті анықтауыштардың біреуі нольден өзгеше. Анықтық үшін:

делік, онда (3) теңдеуден жазықтағы (u,ν) шамалары x пен y айнымалылары арқылы былайша өрнектеледі:

u=u(x,y) v=v(x,y)

бұл шамаларды (3) теңдеудің үшіншісіне қойып, беттің

z=f(x,y)

айқын теңдеуін аламыз. Көп жағдайда беттің (1) айқындалмаған теңдеуі қарастырылады. Егер дербес туындыларының ең болмағанда біреуі нольден өзгеше, мәселен, болса, онда M нүктесінің U аймағында z айнымалысы x пен y айнымалыларының функциясы болады, яғни

z=f(x,y)

Дербес туындыраы нольгн айналатын беттіңнүктелері беттің ерекше нүктелері деп аталады.

u=const, ν=const түзулеріне беттегі сейкес қисықтар координаталар , векторларына мынадай геометриялық мағына беруге болады:

вектор u қисығының, ал векторы v қисығының берілген нүктедегі жанама векторы (20 сызба).

(4) векторлық теңдеу тік бұрышты координаталар системасында былайжазылады:

(7)

Бұл (7) теңдеу келесі үш координаталалық теңдеулермен мәндес:

x=x(u,ν) , y=y(u,ν) , z=z(u,ν) (8)

Ал (u,ν) параметрлер жұбының мәні мен беттің нүктесінің арасындағы сейкестік бір мәнді, олай болса, (8) теңдеу параметрлеріне байланысты шешіледі, сонда нүктенің координаталары мынадай қатынаспен өрнектеледі:

F(x,y,z)=0 (9)

(9) теңдеу беттің айқындалмаған теңдеуі деп аталады.

Эллипсоид, сфера, цилиндрлік, конустық, гиперболалық беттер бетке мысал болыа табылады.

Біз негізінен өзін-өзі қиып өтпейтін беттің бөліктерін ғана қарастырамыз.

14 - Дәріс.

Тақырып . Бет және оның жанамалары. Беттің жанама жазықтығы.