Тригонометричні функції

План

1. Наближені значення і похибка наближень. Запис наближень.

2. Округлення чисел. Похибка округлення.

3. Похибка обчислень з наближеними даними

Деякі відомості про наближені обчислення й похибки

Розв’язок прикладних і математичних задач, як правило, пов'язане з наближеними значеннями величин, наближеними обчисленнями.

Математична модель задачі — це вже наближене подання реального об'єкта. Вихідні дані, одержувані з експерименту, можна в основному визначити лише приблизно. Навіть точні числа, такі як і т.п., при обчисленнях заміняють десятковими дробами, залишаючи певне число знаків після коми.

Обчислювальні методи в основному також є наближеними. Навіть при використанні найпростішої формули результат, як правило, одержують наближеним.

Тому, перш ніж приступитися до вивчення обчислювальних методів, варто ознайомитися із загальними правилами дій над наближеними числами й оцінки похибок.

Абсолютна й відносна похибки

Абсолютна похибка наближеного числа. Якщо а₀ — деяке число (відоме точно або не точно), а а — число, прийняте за наближене значення числа а₀, то помилкою наближеного числа а називають різницю а₀ — а. Звичайно точне число а₀ не відомо, тому помилку наближеного числа а визначити не можна. Однак майже завжди можна вказати число, що оцінює цю помилку. Число , що задовольняє нерівності

| а₀ - а| < ,

називається абсолютною похибкою (точніше граничною абсолютною похибкою) наближеного числа а.

Очевидно, таке визначення абсолютної похибки не є однозначним. Так, якщо а = , а за наближене значення взяти а = 3,14, то, з огляду на те, що 3,140 < < 3,142, можна записати

| — а |< 0,002, | — а |< 0,01, | — а |< 0,1.

Кожне із чисел 0,002, 0,01, 0,1 буде абсолютною похибкою числа а. Але чим ближче між собою числа |а₀ — а| й , тим точніше абсолютна похибка оцінює фактичну помилку.

Як абсолютна похибка наближеного числа а беруть по можливості найменше із чисел, що задовольняють нерівності (1).

Нерівність (1) рівносильна нерівностям

а — а₀ а + ,

які умовно записують у такий спосіб: а₀ = а ± , тобто а₀ приблизно дорівнює а з абсолютною похибкою . Так, наприклад, у попередньому прикладі можна записати = 3,14 ± 0,002.

Абсолютну похибкою іноді називають оцінкою точності наближеного числа.

Відносна похибка наближеного числа. Абсолютна похибка числа а, прийнятого за наближене значення числа а₀, не завжди є зручною характеристикою степеня точності а як наближення до а₀. Похибка в один метр є дуже грубою помилкою при вимірі довжини приміщення, але її можна розглядати як малу помилку при вимірі відстані між двома вилученими крапками земної поверхні. Отже, крім величини абсолютної похибки, необхідно ще знати її відношення до вимірюваного (або що обчислює) величині, в основному виражає у відсотках.

Відносною похибкою наближеного числа а називається відношення абсолютної похибки до модуля цього числа. Відносна погрішність позначається через :

або у відсотках

.

Так, відносна похибка числа 3,14, прийнятого за наближене значення числа , при (3,14) = 0,002 дорівнює

(3,14) = = 0,00064, або 0,064 %.

У технічних розрахунках точність вимірів звичайно характеризують відносною похибкою. Результат вважають хорошим, якщо відносна похибка не перевищує 0,1 %.

З формули (2) слідує, що

.