2. Динамическое распределение ресурсов

0. Принцип оптимальности

Задача распределения ресурсов решается с помощью предложенного Р. Белланом метода динамического программирования. Условия применимости динамического программирования:

1. Работа системы рассматривается на m последовательных этапах.

2. Этапы взаимосвязаны между собой таким образом, что решения, принимаемые на предыдущих этапах влияет на эффективность этих и всех последующих этапов.

3. Показателем эффективности является суммарный эффект W, достигаемый на всех m этапах , w_i – эффект, достигаемый на i-ом этапе.

В основе метода лежит принцип оптимальности: Каково бы ни было состояние системы S_i в начале i-го этапа, на этом этапе следует принять такое решение, чтобы эффект, достигаемый на i-ом этапе в сумме с оптимальным эффектом на всех последующих этапах, был максимальным. Его представляют в виде основного функционального уравнения Беллмана:

, (9)

где W_i(S_i) – условный оптимальный эффект на i-ом и всех последующих этапах до конца процесса при условии, что в начале i-го этапа система находилась в состоянии S_i;

u_i – условное оптимальное решение на i-ом этапе;

U_i – множество всех возможных решений (ОДР);

S_i+1 – состояние системы в конце i-го и в начале i+1-го этапа.

Для последнего m-го этапа

. (10)

2.2. Оптимальное распределение ресурсов

Постановка задачи

Имеется некоторый начальный капитал К₀. В течение m этапов его нужно распределять между двумя предприятиями так, чтобы получить максимальный суммарный эффект. На каждом этапе имеющийся капитал K_i необходимо распределить: X_i – вложение в первое предприятие, Y_i – вложение во второе предприятие; K_i= X_i+Y_i, Y_i=K_i - X_i. Эффект, достигаемый на первом предприятии f(X_i) = aX_i, на втором – g(Y_i) = bY_i. Остаток средств после завершения работ i-го этапа на первом предприятии (X_i) = X_i, на втором – (Y_i) = Y_i.

Решение задачи

В задаче распределения ресурсов состояние системы – это располагаемый капитал S_i  K_i, решение (управление) – это распределение средств u_i  X_i (Y_i=K_i - X_i).

w_i(K_iX_i)= f(X_i)+ g(Y_i) = aX_i,+ bY_i= aX_i,+ b(K_i - X_i)= bK_i+ (a- b) X_i

K_i+1=(X_i)+ (Y_i)= X_i+Y_i = X_i+ (K_i - X_i) =K_i+(-) X_i

С учётом сказанного, основные функциональные уравнения Беллмана для задачи распределения ресурсов имеет вид:

, (11)

. (12)

Так как на последнем этапе оптимальное решение зависит только от этого этапа, задачу решают с конца. Находят условное оптимальное решение на m- ом, m-1 –ом и т.д. 1 – ом этапах. Решения являются условными, так как заранее неизвестно какими ресурсами мы будем располагать на всех последующих этапах, кроме первого. Поэтому вторая часть решения сводится к последовательному нахождению ресурсов и их распределения, начиная с первого этапа.

Пример 2.

Дано: K₀ = 20; a = 1; b = 2;  = 0,9;  = 0,5.

Решение:

f(x_i ) = 1x_i = x_i; g(y_i ) = by_i = 2y_i = 2(K_i – x_i ) = 2K_i - 2x_i;

(x_i) = x_i = 0,9x_i; (y_i ) = y_i = 0,5y_i = 0,5(K_i – x_i ) = 0,5K_i – 0,5x_i ;

w(K_i,x_i) = f(x_i) + g(y_i) = x_i +2K_i - 2x_i = 2K_i -1x_i;

K_i+1 = (x_i) + (y_i ) = 0,9x_i + 0,5K_i – 0,5x_i = 0,5K_i + 0,4x_i.

Условно оптимальное распределение ресурсов (звёздочкой отмечены оптимальные значения).

i = m = 4: W₄(K₄) = {w(K₄, x ₄)} = {2K₄- x ₄)} = 2K₄,

х^*₄ = 0, у^*₄ = К₄.

i=3: W₃(K₃) = {w(K₃,x₃) + W₄(K₄)} = {2K₃-x₃) +2(0,5K₃+0,4х₃)} = = {3K₃ - 0,2x₃ } = 3K₃.

х^*₃ = 0, у^*₃ = К₃.

i=2: W₂(K₂) = {w(K₂,x₂) + W₃(K₃)} = {2K₂-x₂) + 3(0,5K₂+0,4х₂)}= = {3,5K₂ + 0,2x₂ } = 3,7K₂.

х^*₂ = К₂, у^*₂ = 0.

i=1: W₁(K₁) = {w(K₁,x₁) + W₂(K₂)} = {2K₁-x₁) + 3,7(0,5K₁+0,4х₁)}= = {3,85K₁ + 0,48x₁ } = 4,33K₁ = 86,6.

х^*₁ = К₁, у^*₁ =0.

Оптимальное распределение ресурсов:

К₁=К₀=20  х^*₁=20, у^*₁=0 

К₂=0,5K₁ + 0,4x₁= 18  х^*₂=18, у^*₂=0 

К₃=0,5K₂ + 0,4x₂ =16,2  х^*₃=0, у^*₃=16,2 

К₄=0,5K₃ + 0,4x₃ =8,1  х^*₄=0, у^*₄=8,1.

Увеличение пропускной способности по направлениям:

х_сумм = 20 + 18 = 38, у_сумм = 16,2 + 8,1 = 24,3,

f(х_сумм) = 38; g(у_сумм) = 2 24,3 = 48,6.

Проверка. Общее увеличение пропускной способности

W₁(K₁) = 38 + 48,6 = 86,6.

3 Решить транспортную задачу методом потенциалов.

Варианты заданий.

ЗАДАЧА №1

Пункты отправления	Пункты назначения				Объём поставок
	В1	В2	В3	В4
А1	3	4	4	3	80
А2	7	3	8	6	130
А3	3	2	4	1	120
Объём заказов	90	65	70	105

ЗАДАЧА №2

Пункты отправления	Пункты назначения				Объём поставок
	В1	В2	В3	В4
А1	9	4	5	1	130
А2	5	8	2	4	100
А3	1	7	7	2	110
Объём заказов	50	60	140	90

ЗАДАЧА №3

Пункты отправления	Пункты назначения				Объём поставок
	В1	В2	В3	В4
А1	3	4	5	2	100
А2	2	5	7	4	90
А3	2	1	6	7	130
Объём заказов	80	60	100	80

ЗАДАЧА №4

Пункты отправления	Пункты назначения				Объём поставок
	В1	В2	В3	В4
А1	7	6	3	4	100
А2	1	10	5	3	90
А3	6	9	5	2	120
Объём заказов	50	40	80	140