К лабораторной работе №1

1. Транспортная задача линейного программирования

1.1. Общее решение Постановка задачи

Имеется n – пунктов отправления: A₁, A₂,…, A_i,…, A_n , в которых имеются однотипные продукты в количествах: a₁, a₂,…, a_i,…, a_n, и m-пунктов назначения B₁, B₂,…, B_j,…, B_m с потребностями в продуктах (заявками) в количествах b₁, b₂,…, b_j,…, b_m. Все пункты отправления и пункты назначения связаны между собой транспортной сетью. Транспортные издержки задаются в виде матрицы

где c_i,j – затраты на перевозку единицы продукта из пункта A_i в пункт B_j.

Задача относится к линейному программированию, так как линейна целевая функция W и линейны все ограничения области допустимых решений (ОДР).

Решением задачи является оптимальный план перевозок в виде матрицы

где х_i,j – объём перевозки из пункта A_i в пункт B_j.

Целевая функция – минимум суммарных затрат на перевозки

(1)

Область допустимых решений:

Объём перевозки не может быть отрицательным

x_i,j  0, 1  i  n, 1  j  m. (2)

Баланс по отправлению

1  i  n. (3)

Баланс по назначению

1  j  m. (4)

Баланс запасов и потребностей в продуктах

(5)

Если условие (5) выполнено, то задачу называют с правильным балансом. Только такая задача имеет математическое решение. Если задача с неправильным балансом, т.е. имеет место избыток продукта ( ) или его дефицит ( ), то для решения её нужно привести к правильному балансу (см. п. 1.2.).

Решение задачи

Транспортная задача решается в два этапа: составление опорного решения и улучшение решения – нахождение оптимального решения.

Опорное решение проще всего составляется методом северо-западного (левого верхнего) угла. В начале определяется x_1,1 = min(a₁, b₁). Затем переходят к следующей соседней перевозке, куда заносят остаток от a₁ или b₁. Процедура продолжается слева–направо и сверху–вниз пока ни будут распределены все перевозки. В задаче с правильным балансом на перевозке x_n,m условия (3) и (4) выполняются. В опорном решении выполняется условие – число ненулевых перевозок k = n + m – 1, если это условие не выполнено, вводится фиктивная ненулевая перевозка с бесконечно малым объёмом (x_ij = ).

Оптимальное решение находят методом потенциалов или фиктивных стоимостей. Потенциал _i – это фиктивный платёж пункта отправления A_i за вывоз единицы продукта, потенциал _j – это фиктивный платёж пункта назначения B_j за доставку единицы продукта. Суммарный потенциал

c^*_i,j = _i +_j. (6)

Для ненулевых перевозок c^*_i,j = c_i,j , откуда

_j = c_ij - _i, (7)

_i = c_ij - _j. (8)

Число неизвестных _i и _j равно n + m, а уравнений k = n + m – 1, т.е. уравнений на одно меньше, чем неизвестных, поэтому одному из потенциалов нужно задать любое значение. Начинают решение задачи с присвоения ₁ = 0. Далее по формулам (7) и (8) рассчитывают _i и _j для всех ненулевых перевозок. Затем для всех нулевых перевозок по формуле (6) рассчитывают значения c^*_i,j. Маршруты A_i  B_j, для которых c^*_i,j > c_i,j , более выгодны, чем использованные в рассматриваемом плане.

Перенос единицы перевозки на маршрут A_i  B_j даёт экономию, равную c^*_i,j - c_i,j. Выбирается маршрут A_i  B_j, для которого max(c^*_i,j - c_i,j) и для него строится цикл переноса перевозки. Цикл переноса перевозки представляет собой прямоугольную фигуру, одна из вершин которой находится в нулевой перевозке, соответствующей выбранному наиболее выгодному маршруту. Остальные вершины находятся в ненулевых перевозках. Каждой нулевой перевозке соответствует единственный цикл переноса перевозки. В пункте нулевой перевозки ставится знак «+», далее в вершинах цикла переноса перевозок знаки «-» и «+» чередуются. Они соответствуют увеличиваемым и уменьшаемым перевозкам. Выбирается меньшая из уменьшаемых перевозок, и она по циклу переносится на место нулевой перевозки. При этом появляется одна новая ненулевая перевозка и одна ненулевая становится нулевой, т.е. число ненулевых перевозок сохраняется (k = n + m – 1) и сохраняется все условия (3), (4). Процедура улучшения плана перевозок повторяется. Условие оптимального решения – для всех нулевых перевозок c^*_i,j  c_i,j.

Пример 1. Транспортная задача задана в виде таблицы 1. Здесь приведены объёма поставок a_i (i=1,3), объёмы заказов b_j (j=1,4) и транспортные издержки c_ij (в правых верхних углах).

Решение начинается с составления опорного плана методом левого верхнего (северо-западного) угла. Результат приведен в этой же таблице.

Таблица 1

Пункты отправления	Пункты назначения				Объёмы поставок ai	Потенциалы i
	В1	В2	В3	В4
А1	9	8 > 1	10 > 3	5 6	70	0
	70 -	+
А2	5	4	6	1 10	180	-4
	40 +	- 80	60
А3	6 > 1	5 > 4	7	2	130	-3
			10	120
Объёмы заказов bj	110	80	70	120
Потенциалы j	9	8	10	5

Транспортные издержки опорного плана равны W₀ = 9  70+5  40+4  80 + 6  60 + 7  10 + 2  120 = 1820.

На втором этапе определяется оптимальный план перевозок путём последовательного улучшения плана методом потенциалов. Потенциалы или фиктивные платежи определяются по формулам:

c^*_ij = _i + _j ; _j = c_ij - _i ; _i = c_ij - _j .

Принимаем ₁ = 0. Далее для ненулевых перевозок рассчитываем

₁ = c₁₁ - ₁ = 9 - 0 = 9; ₂ = c₂₁ - ₁ = 5 – 9 = - 4; ₂ = c₂₂ - ₂ =

= 4 – (-4) = 8; ₃ = c₂₃ - ₂ = 6 – (-4) = 10; ₃ = c₃₃ - ₃ = 7 – 10 = -3;

₄ = c₃₄ - ₃ = 2 – (-3) = 5.

Для нулевых перевозок c^*₁₂ = ₁ + ₂ = 8 + 0 = 8, аналогично: c^*₁₃ = 10; c^*₁₄ = 5; c^*₂₄ = 1; c^*₃₁ = 6; c^*₃₂ = 5. Находим нулевые перевозки, для которых потенциалы больше транспортных издержек; это c^*₁₂ > c₁₂; c^*₁₃ >c₁₃; c^*₃₁> c^*₃₁; c^*₃₂ > c^*₃₂ . Наибольшие разности c^*₁₂ - c₁₂ = 7 и c^*₁₃ - c₁₃ = 7.

Результаты расчётов приведены в таблице 1. Для нулевой перевозки А₂  В₂ составляем цикл переноса перевозки, который представляет собой прямоугольную фигуру, в одной из вершин которой нулевая перевозка, а в остальных – ненулевые перевозки. Максимально возможный объём переноса перевозки равен меньшей из уменьшаемых величин, а именно 70 единиц (А₂ В₂). Улучшенный план приведен в таблице 2, W₁ = 1820 – 7 70=1330.

Таблица 2

Пункты отправления	Пункты назначения				Объёмы поставок ai	Потенциалы i
	В1	В2	В3	В4
А1	2 9	1	3 3	2 6	70	0
		70
А2	5	4	6	1 10	180	3
	110 -	10	+ 60
А3	6 > 1	5 > 4	7	2	130	4
	+		- 10	120
Объёмы заказов bj	110	80	70	120
Потенциалы j	2	2	3	-2

Второй шаг оптимизации приведен в таблице 2, а его результат – в таблице 3. W₂ = 1330 – 5  10 = 1280.

Таблица 3

Пункты отправления	Пункты назначения				Объёмы поставок ai	Потенциалы i
	В1	В2	В3	В4
А1	2 9	1	3 3	3 6	70	0
		70
А2	5	4	6	6 10	180	3
	100	10	70
А3	1	0 4	2 7	2	130	-1
	10			120
Объёмы заказов bj	110	80	70	120
Потенциалы j	2	1	3	3

Признак оптимальности плана: для всех нулевых перевозок c^*_ij  c_ij. План, приведенный в таблице 3, удовлетворяет условию оптимальности.

Таким образом, оптимальный план перевозок приведен в таблице 3. Минимальные затраты на перевозки составляют W_min = 1280, по сравнению с исходным планом экономия составляет 540 или примерно 42%.