Степеневі ряди в комплексній області.

Степеневі ряди в комплексній області мають вигляд

Теорема.

Якщо степеневий ряд збігається в точці , то він збігається, причому абсолютно, в усіх точках, що лежать в колі з центром в точці , а в будь-якому колі меншого радіусу ряд збігається правильно. Радіус збіжності степеневого ряду знаходиться за формулами:

, або

Ряд Тейлора. Якщо функція однозначна та аналітична в точці , то в околі цієї точки вона може бути розкладена в степеневий ряд Тейлора:

, де ,

Г – коло яке проходить через особливу точку , таку, що . Таким чином розвинення функції комплексної змінної в ряд Тейлора має такий самий вигляд, як і для функції дійсної змінної:

Ряд Лорана. Якщо функція однозначна та аналітична в кільці , то вона може бути розвинена в цьому кільці в степеневий ряд Лорана:

, де ; .

Г – коло довільного радіуса з центром в точці , що лежить по середині кільця.

та - відповідно головна та правильна частина ряду Лорана.

Особливі точки. Точка, в околі якої аналітична функція може бути розвинена в ряд Тейлора, називається звичайною. Будь-яка інша точка називається особливою точкою.

Полюса – це ізольовані особливі точки, біля яких функція залишається однозначною і які є звичайними точками для функції . Для того, щоб точка була полюсом функції , необхідно і достатньо, щоб головна частина лоранівського розвинення в околі цієї точки містила лише скінченне число членів.

, ( ).

Найбільший із показників степенів , що міститься у знаменниках головної частини ряду Лорана, співпадає з порядком полюсу. Істотно особливі точки – це ізольовані особливі точки, в околі яких функція залишається однозначною, але які є особливими і для функції .

Точка тоді , і тільки тоді, є істотно особливою точкою для функції , коли головна части на її лоранівського розвинення містить нескінчене число членів. В цій точці не існує границі функції . Усувною особливою точкою функції називається така особлива точка, в якій функція має скінченну границю. Лоранівське розвинення в цій точці не містить головної частини. Критичні точки, або точки розгалуження – це особливі точки, біля яких функція не лишається однозначною.

Приклади особливих точок.