Елементарні функції комплексної змінної.

Відображення , яке кожному комплексному числу ставити у відповідність деяке комплексне число , називається функцією комплексної змінної і записується так: .

Функція комплексної змінної може бути многозначною. В деяких випадках при відображенні кожному комплексному числу відповідає не одне , а декілька значень комплексної змінної . Нехай , . Тоді залежність між комплексними змінними і рівносильна двом залежностям дійсних функцій і від дійсних змінних і : і .

До основних елементарних функцій комплексної змінної відносяться:

1. Дробово-раціональна функція:

,

2. Експоненціальна або показникова функція:

При цьому і ( ),тобто функція

- періодична,

3. Тригонометричні функції:

;

;

Ці функції періодичні з періодом . При цьому для функцій , , мають місце формули Ейлера: , ,

звідки .

4. Гіперболічні функції:

5. Логарифмічна функція , , визначається, як функція, зворотня до показникової: ( ).

Ця функція багатозначна.

- головне значення (при ). При цьому:

( ).

6. Зворотні тригонометричні функції , , , .

Всі ці функції багатозначні і визначаються через логарифм за формулами:

.

7. Зворотні гіперболічні функції , , , визначаються за формулами:

,

,

,

.

Приклади:

Обчислити:

1) ; 2) ;

3) 4) розв’язати рівняння

Розв’язки:

1) З формули маємо

2) З формули , .

Маємо

3) .

Розв’язати рівняння ,

Маємо:

;

Лекція 10

Диференціювання функції комплексної змінної.

Для того, щоб функція була диференційовна в точці необхідно і достатньо, щоб виконувались умови Коші-Рімана:

і

Похідна функції комплексної змінної знаходиться за формулами :

.

Геометричний зміст похідної функції комплексної змінної:

1. Модуль похідної виражає розтяг або стискання відстані між образами точок і при відображенні площини на площину .

2. Аргумент похідної характеризує кут , на який треба повернути дотичну в точці кривої площини , щоб отримати напрямок дотичної в точці до образу цієї кривої на площині при відображенні .

Приклади:

1) Довести, що функція диференційовна у всіх точках площини і знайти її похідну.

Розв’язок:

Маємо , . Тоді . Тому , . Знаходимо , , , .

Окільки ця функція задовольняє умовам Коші-Рімана , , то вона диференційовна. Її похідну знаходимо за формулою .

Маємо: .Отже .

2) Знайти коефіцієнт розтягу , та кут повороту в точці при відображенні функцією .

Розв’язок:

, якщо , . Знаходимо , отже . Маємо: ; .

3) Маємо уявну частину диференційовної функції . Знайти цю функцію.

Розв’язок:

Маємо . Тоді . Скориставшись формулою Коші-Рімана , маємо . Звідси

. Отже, , скориставшись другою умовою Коші-Рімана , маємо . Отже, , або . Звідси маємо

.

Лекція 11