2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
Методичні вказівки містять розв’язки типових задач і варіанти індивідуальних завдань з курсу теорії функцій комплексної змінної.
1 – Алгебра комплексних чисел;
2 – Елементарні транциндентні функції комплексних змінних;
3 – Диференціювання функції комплексної змінної;
4 – Інтегрування функцій комплексної змінної;
5 – Ряди Лорана і Тейлора;
6 – Застосування лишків до обчислення інтегралів;
7 – Конформні відображення лінійних, дробово-лінійних, і основних елементарних функцій;
Лекція 7
Комплексні числа і дії над ними.
Числа
виду
,
де
,
називаються комплексними.
- дійсна
частина комплексного числа;
- уявна
частина комплексного числа;
Комплексне
число
в декартовій системі координат
зображується точкою
з координатами
або радіус-вектором точки (Рис.1). Із
геометричного змісту комплексного
числа (Рис.1) зрозуміло, що
(1) або
(2)
Рис.1
(1)- тригонометрична форма комплексного числа
(2)- експоненціальна форма комплексного числа
-
модуль комплексного числа, а
- аргумент, де
,
(
);
-головний
кут і
;
(
).
називається комплексно-спряженим
числом.
Дії над комплексними числами:
Нехай
і
,
тоді:
1.
,
якщо
і
(
)
2.
3.
4.
,
має місце формула Муавра:
;
5.
,
або
,
k=0,1,2,…
, (n-1).
Приклади:
виконати
указані дії, якщо
:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
Розв’язки:
1)
Радіус-вектор
дорівнює сумі двох радіус-векторів
та
(Рис. 2).
Рис. 2
2)
Радіус-вектор
дорівнює сумі радіус-векторів
та
(Рис. 3).
Рис. 3
3)
Радіус-вектор
дорівнює сумі радіус-векторів
та
(Рис. 4).
Рис. 4
4)
або за формулою Мавра
;
k
є
Z.
5)
6)
7)
або
Маємо:
;
=
Або:
8)
;
9)
,
k=0,1,2
10)
k=0,1
11)
k=0,1
Лекція 8
Побудова геометричних місць точок для заданих співвідношень.
В площині
зобразити геометричні місця точок для
заданих співвідношень:
1)
;
;
;
2)
;
,
,
3)
;
,
;
4)
5)
,
,
Розв’язки:
1)
.
Маємо:
,
Тоді
,
Звідси
випливає, що
,
,
- параметричні рівняння кола радіуса
з центром в точці (
),
(Рис. 5)
Рис. 5
Маємо
параметричні |
рівняння |
прямої |
;
Виключаючи
параметр
,
маємо:
,
(Рис. 6)
Рис. 6 Рис. 7
3) З
,
,
випливає, що вектори
та
колінеарні.
Геометричне
місце точок
є пряма , що проходить через точки
і
(Рис.7)
4) Модуль
різниці двох комплексних чисел
в площині
дорівнює відстані між точками
і
,
тому
є сума відстаней довільної точки
від двох точок
і
і дорівнює 5. Отже, геометричне місце
точок
є еліпс з фокусами в точках
і
,
велика вісь еліпса дорівнює 5 (Рис. 8)
5)
Оскільки
дорівнює відстані між точками
і
то
є геометричне місце точок
,
відстань яких до даної точки
менше за
,
тобто коло радіуса
є центром в точці
(Рис. 9).
Рис. 8 Рис. 9
Лекція 9