Сложение одинаково направленных колебаний.

Если тело одновременно участвует в колебаниях:

,
,

то его результирующее колебательное движение будет описываться уравнением:

,

где – амплитуда результирующего колебания, - начальная фаза результирующего колебания.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение двух колебаний в случае, когда они перпендикулярны друг другу, не всегда приводит к колебательному движению. Чаще всего задачи на сложение перпендикулярно направленных колебаний сводятся к отысканию траектории движения тела. Для нахождения траектории нужно получить зависимость одной координаты тела от другой (например ) и по виду получившегося уравнения сделать вывод о форме траектории.

Примеры решения задач на колебательное движение

Задача 3.1: Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 10 см, периодом 2 с и начальной фазой /3. Найти смещение колеблющейся точки от положения равновесия, её скорость и ускорение при t₁ = 0 и при t₂ = 2,5 с.

Дано: A = 10 см = 0,1 м T = 2 с 0 = t1 = 0 t2 = 2,5 с	Р ешение: , (1) 1. Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид: где x – смещение точки в момент времени t; ­– циклическая частота колебаний. С учётом условия задачи, получаем: . (2)
x (t) – ? x ­(t1), x ­(t2) – ? x ­(t1), x ­(t2) – ? ax ­(t1), ax ­(t2) – ?

2. Смещение точки в моменты времени t₁ и t₂ можно найти, подставив в уравнение (2) соответствующие значения времени:

м,
м.

3. Чтобы найти скорость колеблющейся точки в разные моменты времени, необходимо получить уравнение для скорости точки. Это можно сделать, воспользовавшись определением скорости:

.

Таким образом, для нахождения уравнения скорости достаточно определить производную по времени от смещения точки (2):

.

(3)

Подставляя t₁ и t₂, получим значения скорости точки в эти моменты времени:

м/с,
м/с.

4. Чтобы найти ускорение колеблющейся точки в разные моменты времени, необходимо получить уравнение для ускорения точки. Это можно сделать, воспользовавшись определением ускорения:

.

Таким образом, для нахождения уравнения ускорения достаточно определить производную по времени от скорости точки (3):

,

(4)

Подставляя t₁ и t₂, получим значения ускорения точки в эти моменты времени:

м/с2,
м/с2.

Ответ: x­(t₁) = 0,05 м; x­(t₂) = -0,09 м; _x(t₁) = -0,14 м/с; _x(t₂) = -0,16 м/с;

a_x(t₁) = -0,49 м/с²; a_x­(t₂) = 0,43 м/с².

Задача 3.2: Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 3 см, полная энергия колебаний W = 0,3 мкДж. При каком смещении х от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 22,5 мкН.

Дано: A = 3 см = 310-2 м W = 0,3 мкДж F = 22,5 мкН	Р ешение: 1. Силу, действующую на колеблющуюся точку можно найти с помощью II закона Ньютона: . 2. Ускорение колеблющейся точки можно найти как вторую производную от координаты точки.
x – ?

Пусть уравнение гармонических колебаний точки имеет вид:

,

(1)

тогда модуль ускорения точки:

(учли уравнение (1)).

3. Теперь можно записать уравнение для модуля силы, действующей на точку:

(3)

4. Полная энергия колебаний точки определяется уравнением:

(4)

5. Поделим уравнение (3) на (4):

(сократили на m и 2)

откуда:

м см.

Ответ: x = 3,4 см.

Задача 3.3: Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных колебаний с одинаковыми частотами ₁ = ₂ = 5 Гц. Амплитуды колебаний равны A₁ = 10 см, А₂ = 15 см, начальные фазы – ₀₁ = 0, ₀₂ = /6.

Д ано: 1 = 2 = 5 Гц A1 = 10 см = 0,1 м А2 = 15 см = 0,15 м 01 = 0 02 = /6	Решение: 1. Так как частоты колебаний равны, то и циклические частоты тоже будут равны: Циклическая частота результирующего колебания также будет равна 10.
x (t) –?

2. Запишем уравнения колебательного движения для обоих колебаний в виде:

, .

3. Амплитуда результирующего колебания находится по формуле:

м.

4. Начальная фаза результирующего колебания:

.

5. Произведя расчёты, теперь мы можем записать уравнение результирующего колебания:

, м.

Ответ: , м

Задача 3.4: Найти траекторию движения колеблющейся точки, получающуюся в результате сложения двух перпендикулярно направленных колебаний с одинаковыми частотами ₁ = ₂ = 5 Гц и начальными фазами ₀₁ =₀₂= 0. Амплитуды колебаний равны A₁ = 10 см, А₂ = 15 см.

Д ано: 1 = 2 = 5 Гц A1 = 10 см = 0,1 м А2 = 15 см = 0,15 м 01 = 02 = 0	Решение: 1. Так как частоты колебаний равны, то и циклические частоты тоже будут равны: . 2. Запишем уравнения колебательного движения для обоих колебаний в виде:
y (x) –?

, .

3. Для получения уравнения траектории поделим одно уравнение на другое:

.

откуда

.

Полученное уравнение имеет вид . Это уравнение прямой. Значит траектория тела имеет вид прямой линии.

Ответ: , м, траектория – прямая.