3. Колебания Краткие теоретические сведения
Колебательное движение – движение, периодически повторяющееся во времени.
Свободные колебания – колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия. Свободные колебания происходят под действием только внутренних сил.
Вынужденные колебания – колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается действию внешней периодически изменяющейся силы.
Гармонические колебания – простейший вид колебаний, при котором колеблющаяся величина изменяется по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).
Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний имеет вид:
|
3.1 |
,
где x
– координата тела;
–
циклическая частота свободных колебаний.
Решением уравнения (3.1) является уравнение гармонического колебательного движения:
|
3.2 |
,
где A
– амплитуда гармонического колебания,
т.е. максимальное отклонение колеблющейся
величины от равновесного значения; 0
– начальная фаза колебания;
– фаза колебания.
Вы можете проверить правильность данного утверждения, вычислив самостоятельно вторую производную от уравнения (3.2) и подставив её вместе с уравнением (3.2) в (3.1). Оно должно превратиться в верное равенство.
Кроме того, попробуйте исследовать таким же образом уравнение гармонического колебательного движения вида:
|
3.3 |
.Оно тоже должно превращать (3.1) в верное равенство. Таким образом, уравнение (3.3) также является решением дифференциального уравнения свободных колебаний и тоже может использоваться при описании колебательного движения. Мы же в дальнейшем будем применять только уравнение 3.2 (если иное не будет оговорено).
Проекцию скорости колеблющегося тела на направление колебаний можно определить как производную от координаты:
|
|
,
где
- амплитуда скорости (её максимальное
значение).
Так как ускорение тела – это производная от его скорости, то проекцию ускорения колеблющегося тела на направление колебаний можно найти по формуле:
|
|
,
где
- амплитуда ускорения (его максимальное
значение).
Полная механическая энергия колеблющегося тела складывается из двух составляющих – потенциальной и кинетической:
|
|
.Кинетическая энергия колеблющегося тела:
|
|
.Потенциальная энергия колеблющегося тела:
|
|
,
где k
– коэффициент жёсткости (упругости)
колеблющейся системы (
).
Полная механическая энергия свободных колебаний:
|
|
.Видно, что полная механическая энергия свободных колебаний не изменяется со временем.
Затухающие колебания – колебания, происходящие под действием силы сопротивления (трения).
Дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний имеет вид:
|
3.4 |
,
где
– коэффициент затухания (
,
где r
– коэффициент сопротивления движению).
Решением уравнения (3.4) является уравнение гармонического колебательного движения:
|
3.5 |
,где А0 – начальная амплитуда колебаний.
Декремент затухания – параметр затухающих колебаний, равный отношению амплитуд, соответствующим моментам времени, отличающимся на период.
|
|
.Логарифмический декремент затухания – величина, равная натуральному логарифму декремента затухания. Является обратным по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз. Логарифмический декремент затухания ( - "каппа") определяется уравнением:
|
|
.Если тело одновременно участвует в нескольких колебательных движениях, то результирующее движение можно найти, сложив колебания тела.