Уравнения кинематики для различных видов поступательного движения

Уравнения кинематики связывают между собой различные кинематические характеристики тела, такие как скорость, ускорение, путь.

1) Равномерное движение ( )

– пройденный путь.

2) Равнопеременное движение ( )

– пройденный путь,
– скорость тела,

где и – начальное и конечное значение скорости соответственно.

Знак "+" в вышеприведённых формулах ставиться, если тело движется равноускоренно (скорость растёт), а знак "-" – если тело движется равнозамедленно (скорость уменьшается).

Кинематика вращательного движения твёрдого тела

Вращательным называется такое движение, при котором тело движется так, что любая его точка перемещается по окружности с центром, лежащим на оси вращения.

Основными понятиями кинематики вращательного движения являются угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.

Угол поворота ( ) измеряется в радианах.

Угловая скорость ( ) – векторная величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота.

В задачах обычно бывает необходимо найти модуль угловой скорости. Если известен закон изменения угла поворота , то для нахождения модуля угловой скорости необходимо вычислить производную по времени от угла поворота:

.

Угловое ускорение ( ) – векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости. Если известен закон изменения угла поворота или угловой скорости , то для нахождения углового ускорения надо вычислить производные:

или .

Направлены вектора углового ускорения и угловой скорости всегда вдоль оси вращения. Направление вектора угловой скорости связано с направлением вращения правилом «буравчика». Вектор же углового ускорения либо сонаправлен с угловой скоростью (если скорость вращения увеличивается), либо противоположно направлен вектору угловой скорости (если скорость вращения уменьшается).

Уравнения кинематики для различных видов вращательного движения твёрдого тела

1) Равномерное вращение ( )

– угол поворота.

2) Равнопеременное вращение ( )

– пройденный путь,	(1.3)
– скорость тела,	(1.4)

где и – начальное и конечное значение угловой скорости соответственно.

Знак "+" в формулах (3) и (4) ставиться, если тело движется равноускоренно (скорость растёт), а знак "-" – если тело движется равнозамедленно (скорость уменьшается).

Между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движения существует связь:

;
;
;
,

где R – радиус кривизны траектории точки

Примеры решения задач на кинематику

Задача 1.1 Тело движется так, что зависимость его координаты от времени определяется уравнением . В какой момент времени его скорость равна 0? Чему равно ускорение в этот момент времени? Какой путь проехало и какое перемещение совершило тело за 5 с? Построить графики зависимости проекции скорости, пути и координаты тела от времени в интервале от 0 до 5 с.

До начала решения вводим обозначения и записываем условие задачи «столбиком»:

Дано: t2 = 5 c	Р ешение 1. Чтобы определить момент времени , при котором скорость тела равна нулю, необходимо найти зависимость скорости тела от времени. Для этого воспользуемся определением скорости (точнее её проекции на ось координат): , где – производная от координаты по времени. Найдём производную от координаты тела: . (1) Приравняем уравнение для скорости нулю и найдём момент времени :
t 1 – ? ax(t1) – ? – ? – ? Графики х(t); S(t); x(t).

,

с.

2. Для того, чтобы определить ускорение тела в момент времени , необходимо найти уравнение зависимости ускорения тела от времени. Так как тело движется по прямой (по оси Ох), то его полное ускорение равно тангенциальному. По определению проекции тангенциального ускорения имеем: .

Найдем производную от проекции скорости тела:

м/с².

Получили, что ускорение тела не зависит от времени и равно по модулю 6 м/с². Знак минус говорит о том, что ускорение направлено против оси Ох.

3. Для того, чтобы найти путь , пройденный телом за время , рассмотрим, каким образом тело двигалось в интервале времени от начала движения до момента . По условию задачи сказано, что при времени с, скорость тела равна нулю. Так как до этого момента проекция скорости на Ох положительная (проверьте: например при t = 2 с ), а после – отрицательная (например при t = 4 с ), то в момент времени с тело меняет направление движения. Схематично путь тела можно изобразить так, как это сделано на рис. 1.2:

Рис. 1.2 Движение тела

Из рис. 1 видно, что путь тела за время можно найти так:

, где , а . (2)

Подставляя соответствующие моменты времени в уравнение для координаты тела, определим пройденный путь:

, м;

, м;

, м;

, м;

, м;

, м.

4. Перемещение тела за промежуток времени от 0 до t₂ можно найти исходя из его определения: перемещение – это вектор, соединяющий начальную точку траектории с конечной. На рис. 1 изображён вектор перемещения за время . Из рисунка видно, что модуль перемещения равен:

, м

5. Для построения графиков используем уравнения соответственно (2) и (1). Проще всего построить график зависимости проекции скорости от времени _х(t) по уравнению (2). Это уравнение прямой, поэтому можно ограничиться значениями скорости в начальный и конечный моменты времени:

_х(0) = 18 – 60 = 18 м/с; _х(t₂) = 18 – 65 = – 12 м/с.

П о этим значениям выбираем такой масштаб по оси ординат графика _х(t), чтобы линия графика составляла с осями графика угол  45 (рис. 1.3а).

Сложнее построить графики x(t) и S(t), потому что здесь зависимость квадратичная, и графики будут представлять собой отрезки парабол. Составим таблицу, в первой строке которой зададим ряд значений времени от 0 до 5 секунд, а во второй – вычисленные по уравнению, данному в условии задачи, значения координаты х:

t, с	0	1	2	3	4	5
х, м	100	115	124	127	124	115
S, м	0	15	24	27	30	39

По этим данным выберем масштаб и построим график (рис. 1.3б).

Для построения графика S(t) можно воспользоваться той же таблицей, где в третьей строке проставлены значения расстояния, которое прошло тело за указанные промежутки времени. За первую секунду тело прошло 15 м, за вторую секунду 9 м, за третью – 3 м. Затем тело двинулось обратно с возрастающей (по модулю) скоростью и за четвёртую секунду проехало расстояние 3 м, а за пятую – ещё 9 м. Последовательно складывая эти значения, получаем числа в третьей строке, по которым выбираем масштаб, наносим точки, и проводим по ним плавную кривую. График S(t) представлен на рис. 1.3в.

Ответы: с; м/с²; пройденный путь м;

перемещение тела за 5 с направлено по оси Ox и равно по величине 15 м.

Задача 1.2: Тело брошен со скоростью 15 м/с под углом 30º к горизонту. Найдите нормальное и тангенциальное ускорения через 1 с после начала движения, а также максимальную высоту подъема и дальность полёта. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: 0 = 15 м/с.  = 30. t1 = 1 c.	Р ешение Так как сопротивлением воздуха пренебрегаем, то в процессе полёта на тело действует только сила тяжести, и тело движется с полным ускорением , равным ускорению свободного падения . В любой точке траектории полное ускорение одинаково и направлено вертикально вниз. Оно может быть разложено на две составляющие: .
a n - ? a - ? H - ? L - ?

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, а нормальное ускорение – перпендикулярно касательной внутрь траектории. Эти ускорения изменяются при свободном полёте тела, то есть зависят от времени, в отличие от полного ускорения = const = .

Двигаясь в пространстве под действием силы тяжести, брошенное тело перемещается относительно двух осей координат, причем, так как сила тяжести направлена вертикально вниз (т.е. вдоль оси Oy), то полное ускорение тела также будет направлено вниз и равно ускорению свободного падения. Движение же вдоль оси Ox будет происходить без ускорения (так как нет сил, действующих на тело в этом направлении). Таким образом, получается, что движение вдоль оси Oy носит равнопеременный характер (постоянное ускорение: a_y = -g), а по оси Ox – равномерный (постоянная скорость: _x = const).

1 . Эти сведения нужно использовать при создании рисунка, на котором следует отобразить траекторию тела и величины, которые даны в условии задачи (₀ и ), и которые надо найти (a_n , a_ , H, L). При построении рисунка полезно изображать вектор начальной скорости под тем углом к оси Ох, который дан в условии задачи. Также нужно учесть, что горизонтальная составляющая скорости (_х) не изменяется во время движения (рис. 1.4).

2. На рис. 1.4 изображён вектор начальной скорости и его проекции _0x и _0у на оси координат. Из рисунка видно, что

;	(1)
.	(2)

Посчитаем: 13 м/с; м/с.

3. Запишем уравнения кинематики, описывающие движение тела вдоль соответствующих осей координат. Если начало координат поместить в точку, из которой брошено тело, то координата y будет изменяться со временем в соответствии с уравнением

.

(3)

Горизонтальная координата

.

(4)

Проекции скорости на оси координат равны производным по времени от соответствующих координат:

у = 0cos; у = 0sin – gt.

(5)

4. Для нахождения дальности полёта и высоты подъёма, необходимо знать время движения и время подъёма. Время подъёма можно легко найти с помощью второго уравнения (5), если учесть, что в самой верхней точке траектории проекция скорости на ось Oy равна 0.

Отсюда время подъёма: с.

В силу симметричности траектории время подъёма равно времени падения (это справедливо, если не учитывать сопротивление воздуха). Поэтому всё время движения

с.

5. Максимальная высота подъёма – это путь, пройденный телом вдоль оси Oy за время подъёма. Воспользуемся уравнением (3), подставив в него время подъёма:

м.

6. Дальность полёта – это путь, пройденный вдоль оси Ox за всё время движения. Воспользуемся уравнением (4), подставив в него время движения:

м.

7. Для нахождения тангенциального и нормального ускорений в момент времени = 1 c необходимо изобразить треугольники скоростей и ускорений в соответствующей точке на траектории. Последовательность построения треугольников такова:

• отображаются вектора, направление и величина которых уже известна в любой точке траектории. Это вектор скорости тела вдоль оси Ox ( ) и вектор полного ускорения, которое равно ускорению свободного падения ( ). Затем проводятся касательная к траектории в рассматриваемой точке и перпендикуляр к касательной в той же точке.

Треугольник скоростей:

• проводя вертикальную прямую из конца вектора до пересечения с касательной и соединяя начало _x с точкой пересечения стрелкой, получаем вектор полной скорости в данной точке;

• полученный вектор полной скорости проецируется на ось Oy, что позволяет получить составляющую вектора скорости вдоль данной оси ( ).

Треугольник ускорений:

• вектор полного ускорения проецируется на касательную к траектории тела и на линию, перпендикулярную касательной (нормаль). Это позволяет получить соответственно вектора тангенциального и нормального ускорений.

Из рисунка видно, что треугольники ускорений и скоростей являются подобными (по трём углам). Из подобия треугольников мы можем записать следующие соотношения:

и ,

(6)

откуда

и .

(7)

В уравнения (7) входит полная скорость тела в данной точке траектории, которую можно найти через проекции:

(8)

На рис. 3 приведён пример построения треугольников скоростей и ускорений для точки, находящейся на подъёме траектории. В данной задаче требуется найти нормальное и тангенциальное ускорения для момента времени = 1 c, что соответствует нахождению тела на спуске (сравните: время подъёма 0,75 с и время  = 1 c). Попробуйте сами построить вектора скоростей и ускорений для этого случая. Треугольники скоростей и ускорений примут несколько иной вид, но соотношения (7) не изменятся.

Теперь можно посчитать величины ускорений. В соответствии с данными задачи получим:

м/с.

знак "-" у скорости по оси Oy говорит о том, что эта скорость направлена против оси. Если бы скорость была направлена по оси, то значение получилось бы положительным (проверьте по вашему рисунку, соответствует ли полученный при расчёте знак её направлению).

м/с

м/с²,

м/с².

Результаты всех расчётов округляли до точности, с которой даны исходные данные в нашем примере – это 2 значащие цифры.

Для проверки правильности вычислим полное ускорение по теореме Пифагора:

м/с².

Ответ: м/с², м/с², м, м.

З адача 1.3: Колесо радиусом 20 см вращается так, что зависимость угла поворота колеса от времени дается уравнением = 2t + 3t² + t³ рад. Найти линейную скорость и нормальное ускорение точки, лежащей на ободе колеса, а также угловую скорость и угловое ускорение для момента времени t₁ = 3c.

Дано: R = 20 см = 0,2 м = 3 c	Решение. 1. Для того, чтобы определить угловую скорость в момент времени , необходимо найти уравнение зависимости угловой скорости тела от времени. Для этого воспользуемся определением модуля угловой скорости: . Найдем производную от координаты тела: . Подставим в уравнение время равное и найдём величину
- ? - ? - ? - ?

угловой скорости в этот момент времени:

рад/с.

2. Для того, чтобы определить величину углового ускорения тела в момент времени , необходимо найти уравнение зависимости углового ускорения от времени. По определению модуля углового ускорения имеем: .

Найдем производную от модуля скорости тела:

м/с².

Подставим в уравнение время равное и найдём величину углового ускорения в этот момент времени:

рад/с².

3. Линейную скорость и нормальное ускорение точки, лежащей на ободе колеса можно найти, используя связь между угловыми и линейными величинами:

и .

После подстановки значений получим:

м/с;

м/с².

4 . После нахождения численных значений скоростей и ускорений, необходимо изобразить на рисунке направления этих векторов. Вектор линейной скорости точки обода направляется по касательной к траектории. Вектор нормального ускорения – перпендикулярно касательной. Направление вектора угловой скорости определяется по правилу «буравчика» относительно направления вращения колеса. Так как знак углового ускорения получился такой же, как и знак угловой скорости, значит эти вектора сонаправлены. Все найденные векторные величины представлены на рис. 1.5.

Ответ: = 9,4 м/с; = 47 рад/с; = 442 м/с²; = 24 рад/с².