Определение коэффициента упругости пружины динамическим методом

Этот метод основан на законах колебательного движения груза массой m около положения равновесия. Основной признак колебательного движения – периодичность. Следовательно, смещение x груза из положения равновесия можно записать в виде периодической функции времени:

x = Acos(t +  0),

(2.2)

где A – амплитуда;  = 2/T – циклическая частота, обратно пропорциональная периоду T колебаний; ₀ – начальная фаза колебаний.

При смещении x величина силы упругости будет определяться полным удлинением пружины, равным сумме l и x (см. рис. 2.1):

Fyпр = k(l + x).

(2.3)

Здесь l – удлинение пружины под действием покоящегося груза:

.

(2.4)

Записав второй закон Ньютона (2.1) в проекциях на ось x (см. рис. 2.1) и учтя выражения (2.3) и (2.4), нетрудно получить дифференциальное уравнение свободных колебаний подвешенного на пружине тела:

,

(2.5)

где a_x – проекция ускорения груза на ось х.

После подстановки значений и x в уравнение (2.5) получим

m2 = k.

(2.6)

Зная циклическую частоту колебаний  и колеблющуюся массу m, можно определить значение коэффициента упругости . Так как непосредственно измеряется время, то лучше связать коэффициент упругости не с частотой, а с периодом колебаний. Нетрудно показать, что квадрат периода колебаний груза на пружине прямо пропорционален его массе и обратно пропорционален коэффициенту упругости пружины:

.

(2.7)

Из последнего равенства видно, что период определяется только свойствами системы (m и k) и не зависит от амплитуды колебаний.

Уравнение (2.7) позволяет графически обработать результаты измерений периода: откладывая по осям соответствующие переменные, можно свести равенство (2.7) к виду y = c + bx и получить при построении графика прямую, по угловому коэффициенту которой можно найти коэффициент упругости k. Подумайте, что следует принять за y, за х, за b, чтобы свести уравнение (2.7) к указанной линейной зависимости.

Выполнение измерений

1. Поместите на подвеску все 5 грузов, запишите в табл. 2.1 их общую массу с учетом массы подвески.

2. Нажимая двумя пальцами на верхнюю плоскость груза, оттяните его на любую величину А < l вниз и быстро уберите пальцы вверх.

Таблица 2.1

3. № п.п.	m	N	t	T	T 	T 2
   1	…	… … …	… … …	… … …	…	…
   5	…	… … …	… … …	… … …	…	…

   Запишите значение N и измерьте время t, за которое груз сделает N полных колебаний, запишите его в табл. 2.1. Измерения времени с каждым грузом нужно проделать по 3 раза, изменяя число колебаний. Например, N₁ = 12, N₂ = 20, N₃ = 28, или 10, 15, 20 колебаний (по указанию преподавателя).

Подсказка: чтобы сделать три замера, достаточно запустить колебания один раз, потому что период колебаний не зависит от амплитуды, которая постепенно уменьшается вследствие затухания колебаний.

4. Снимите верхний груз и проведите такие же измерения, сохраняя выбранные значения числа колебаний.

5. Снимите ещё один груз, проведите измерения с тремя оставшимися, затем с двумя и, наконец, с одним, самым тяжёлым грузом. Все показания секундомера и массы грузов запишите в табл. 2.1.