және символдарын қолданғанда (1) және (4) түріндегі теңдіктерді әдеттегідей түсінбеу керек екенін есте сақтаған жөн.

Дәл айтқанда, , теңдіктерінен әрқашанда (яғни, әрбір үшін болуы) болады деп қорытындылауға болмайды.

Мысалы, , , бірақ _.

Дәл солай, , болса да, болуы мүмкін.

Мысалы, , , бірақ, .

Бұның себебі мынада: Ландау символдарының анықтамаларында «=» таңбасы жеке функцияны емес, тек қана функциялардың бір қасиетін белгілеу үшін қолданылуында. Онда көрсетілген қасиетті ақырсыз көп функциялар қабылдайды: егер немесе болса, онда кез келген -да локальді шенелген үшін де сәйкес және болады.

Сонымен, және символдары бір ғана функцияны емес, функциялар жиынын анықтайды, демек, (1) және (4) теңдіктерінің орнына сәйкес және кірістірулерін жазған дұрыс болар еді. Бірақ бұлай жазсақ, онда және символдары ыңғайлылығын жоғалтады, мысалы, математикада жиі қолданылатын түріндегі көрнекі теңдікті жаза алмас едік.

Сондықтан, және үшін (1) және (4) түріндегі белгілеуді сақтап, оны бір бағытта – солдан оңға қарай – оқуға келісейік. Сөйтіп, мысалы теңдігі функциясы үшін (2)-нің оң жағындағы шарттың орындалатынын белгілейді де, бірақ одан сол аталған шартты қанағаттандыратын функция міндетті түрде болады деген қорытынды жасауға болмайды.

Бұдан мынадай ескерту жасауға болады: Кейде бұрыннан анықталған математикалық символды (мәселен, «=» таңбасын) кішкене басқаша пайдалану ыңғайлы болады. Сондықтан, әрқашанда қандай символ қандай мағынада қолданылып отырғанына көңіл аудару қажет.

Жаңылысқа әкелмейтін жағдайларда, мысалы, функциялар қандай нүктенің қасында салыстырып тұрғаны алдын ала белгілі болғанда, (1) және (4) белгілеулерінде символын жазбауға болады.

Ландау символдарын қолдануға мысал ретінде (бұнда )

. (5)

Бұл теңдікті солдан оңға қарай оқып, былай түсіну керек: Егер үшін және болса, онда .

Сонымен, және болсын. Онда

(6)

және

(7)

шарттары орындалатын , , , оң сандары табылады.

ақырлы болғанда , ақырсыз болғанда болса, онда (6) және (7) бойынша

,

демек, , яғни (5) дәлелденді. Дәл солай

,

, ,

, ,

,

,

.

теңдіктері де орындалады.

Бұл теоремалар Ландау символдарының анықтамаларының тікелей салдары болады да, дәлелдеулері оқырманның өзіне жаттығу ретінде ұсынылады.

2. Эквивалентті функциялар. және функциялары жиынында анықталып, сол жиынның шектік нүктесі болсын. Егер -ның белгілі бір ойылған маңайының бірде-бір нүктесінде те, да нольге айналмаса, яғни

, , (8)

шарты орындалатын табылып, (9)

теңдігі орындалса, онда -ға ұмтылғанда және функцияларын эквивалентті, асимтотикалық тең не пара-пар дейді де, ~ символымен белгілейді.

Әрине, бұл анықтамада (9)-ды оған пара-пар

(10)

Теңдігіне ауыстыруға болады, демек, ~  ~ .

Мысалдар:

1. х~х+х² (х0).

2. sinx~x (x0).

3. ~e (х) (бұл 3 § 3-пунктте дәлелденген еді).

4. ln (1+x)~x (x0) (4 § 4-пункттегі 2-салдар бойынша).

Келесі теоремада эквиваленттіктің анықтамасын О символын қолдану арқылы беру мүмкін екені көрсетілген.

Т е о р е м а. жиынының шектік нүктесі болып, сол жиында анықталған және функциялары үшін (8) шарты орындалсын. Онда пен функциялары -ға ұмтылғанда эквивалентті болу үшін

(11)

шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Д ә л е л д е у і. Қ а ж е т і л і г і. болсын. Онда ), демек, =0 болады.

Бұдан, g(x)0 болғандықтан, o символының анықтамасы бойынша дәлелдеу керек болатын (11) теңдігіне келеміз.

Ж е т к і л і к т і л і г і. g(x)0 болғандықтан, (11) шарты =0 теңдігіне пара-пар, демек, болады, яғни f және g функциялары x p-ға ұмтылғанда эквивалентті.

Е с к е р т у. Дәлелденген теореманың мазмұнын өзгертпей, (11)-ді g - f = o(f) (12)-мен ауыстыруға болады.

Расында да, келтірілген дәлелдеуде (9) теңдігінің орнына (10) теңдігін пайдалансақ болғаны. Бұдан (11) және (12) шарттары пара-пар екені шығады: біріншіден, теорема бойынша f ~ g (xp)  f – g = o(g) (xp); екіншіден, ескерту бойынша f ~ g (xp)  g – f = о(f) (xp).

3. Салыстыру шкаласы мен салыстыру эталондары. f және g функциялары үшін анықталған эквиваленттік ұғымы әсіресе х р-ға ұмтылғанда f пен g нольге немесе шексіздікке ұмтылатын жағдайда мазмұнды болады. х0 болғанда

х, х², х³, …, хⁿ, … (13)

функциялары әрбір мүшесі алдыңғысына қарағанда нольге жылдам ұмтылатын шкала құрады, өйткені әрбір оң бүтін n саны үшін хⁿ⁺¹ = о(хⁿ) (x0) болады.

Сондықтан, x0 болғанда нольге ұмтылатын кез келген f функциясының «кішкене болу ретін» сол шкала арқылы өлшеген жөн. Дәл айтқанда; егер белгілі бір С0 нақты саны мен n оң бүтін саны үшін

f(х) ~ С хⁿ (x0), (14)

болса, онда f(х)-тің кішкене болу реті n-ге тең дейді. Бұл шкала толық емес, яғни бірде-бір С мен n сандары үшін (14) шарты орындалмайтын функциясы табылады. Сондай функцияның мысалы, f(х) = х және f(х) = х ( х+0 болғанда) болады.

(13) шкаласын толықтыру үшін оң рационал, тіпті оң нақты дәрежелі функцияны қоссақ та, мақсатымызға жетпейміз.

Мысалы, f(х) = хln сондай болады.

Расында да, кез келген С0 және 0 нақты сандары үшін

 1. (15)

болады. Бұны дәлелдеу үшін

= n^-1ln n C (n) (16)

Болатынын дәлелдеу жеткілікті (мұнда C0 және С+). 6 (II-тарау, §1)-пунктте дәлелденген бойынша  болғанда n^-1 ln n =+,  болғанда n^-1 ln n = 0 болады, демек, (16) шарты, сонымен бірге (15) те дәлелденді.

Дәл осылай, ха және х болғанда сәйкес (х-а), (х-а)², …, (х-а)ⁿ, … және , , …, , … функциялар шкаласы бойынша нольге ұмтылатын f функциясының кішкене болу реті анықталады.

Мысалы, егер қайсыбір С0 және n оң бүтін сандары үшін

f ~ (х),

болса, онда х болғанда f(х)-тің кішкене болу реті n-ге тең дейді.

Функцияның үлкен болу реті дәл осылай анықталады. ха (а-нақты сан) және х болғанда сәйкес , , …, , … және х, х², …, хⁿ, … функцялар шкаласы бойынша шексіздікке ұмтылатын функциясының өсу реті анықталады.

Мысалы, егер қайсыбір С0 және n оң бүтін сандары үшін

f ~ (ха),

болса, онда ха болғанда f(х)-тің өсу реті n-ге тең дейді.

Енді шкала ұғымын былай жалпылайық.

₁(х), ₂(х), …, _n(х), … (17)

Функциялары Х жиынында анықталып, р сол жиынның шектік нүктесі болсын. Егер:

біріншіден, әрбір оң бүтін n үшін _n(х) = 0 болса,

екіншіден, әрбір оң бүтін n үшін _n+1(х) = о(_n(х)) (хр) болса, онда (17) салыстыру шкаласы деп, ал ондағы әрбір _n(х) функциясы салыстыру эталоны деп аталады.

Әрине, р=0 және _n(х) = хⁿ болғанда, (13) шкаласына келеміз.