2. Численные методы решения проблемы собственных значений

С те­о­ре­тичес­кой точки зре­ния ре­ше­ние про­б­ле­мы соб­ст­вен­ных значений да­но урав­не­ни­я­ми (12) и (13). Вначале сле­ду­ет най­ти соб­ст­вен­ные значения из ха­ра­к­те­ри­стичес­ко­го урав­не­ния (13), а за­тем, под­ста­в­ляя их по од­но­му в ле­вую часть од­но­род­ных урав­не­ний (12), по­лу­чить со­от­вет­ст­ву­ю­щие соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры. На пра­к­ти­ке этот путь ­возможен, но об­ла­да­ет серь­ез­ны­ми не­до­с­тат­ка­ми. Во-пер­вых, за­дача чис­лен­но­го оп­ре­де­ле­ния кор­ней мно­гочле­на очень час­то ока­зы­ва­ет­ся не­ус­тойчивой. Во-вто­рых, с точки зре­ния объ­е­ма вычис­ли­тель­ной ра­бо­ты та­кой под­ход не­эф­фек­ти­вен (тре­бу­ет до­воль­но боль­ших за­трат). Со­в­ре­мен­ные чис­лен­ные ме­то­ды ре­ше­ния за­дач на соб­ст­вен­ные значения ос­но­ва­ны на иных прин­ци­пах.

Фун­да­мен­таль­ное из­ло­же­ние те­о­ре­тичес­ких ос­нов и чис­лен­ных ме­то­дов ре­ше­ния про­б­ле­мы соб­ст­вен­ных значений мо­ж­но най­ти в клас­сичес­кой мо­но­гра­фии Дж. Уил­кин­со­на [³]. Очень хо­ро­шее опи­са­ние чис­лен­ных ме­то­дов для сим­мет­ричных ма­т­риц со­дер­жит­ся в кни­ге [⁴], со­че­та­ю­щей пре­дель­ную яс­ность и про­с­то­ту из­ло­же­ния с до­с­та­точной ма­те­ма­тичес­кой стро­го­стью и не тре­бующей от чита­те­ля вы­со­кой ма­те­ма­тичес­кой под­го­тов­ки. На­ко­нец, об­ще­при­знан­ным эта­ло­ном пра­к­тичес­кой ре­а­ли­за­ции чис­лен­ных ме­то­дов яв­ля­ет­ся спра­вочник Дж. Уил­кин­со­на и К. Райн­ша [⁵], ко­то­рый со­дер­жит тща­тель­но от­ра­бо­тан­ные ал­го­рит­мы, за­пи­сан­ные на язы­ке АЛ­ГОЛ, и на­бор кон­т­роль­ных за­дач для их про­вер­ки. Ал­го­рит­мы из это­го спра­вочни­ка со­ста­в­ля­ют ос­но­ву та­ких ши­ро­ко из­ве­ст­ных па­ке­тов ­про­грамм для ре­ше­ния за­дач ли­ней­ной ал­ге­б­ры, как EISPACK и LAPACK, и вхо­дят в со­став мно­гих би­б­ли­о­тек об­ще­го на­значения, на­при­мер, CRAY SCILIB и SLATEC Common Mathematical Library. Мо­дуль EIGEN (файл EIGEN.PAS), ис­поль­зу­е­мый в пра­к­тичес­ких за­да­ни­ях по те­ме «Про­б­ле­ма соб­ст­вен­ных значений», так­же со­ста­в­лен из ал­го­рит­мов [Error: Reference source not found], пе­ре­ве­ден­ных на язык Па­с­каль.

В даль­ней­шем мы ог­ра­ничим­ся толь­ко ме­то­да­ми на­хо­ж­де­ния соб­ст­вен­ных значений и соб­ст­вен­ных ве­к­то­ров ве­ще­ст­вен­ных сим­мет­ричных ма­т­риц (т.е. ре­ше­ни­ем так на­зы­ва­е­мой сим­мет­ричной про­б­ле­мы соб­ст­вен­ных значений). Как уже бы­ло ска­за­но вы­ше, в боль­шин­ст­ве фи­зичес­ких и хи­мичес­ких при­ло­же­ний воз­ни­ка­ют имен­но та­кие ма­т­ри­цы, так что это ог­ра­ничение не умень­ша­ет пра­к­тичес­кой поль­зы рас­сма­т­ри­ва­е­мых ме­то­дов. Кро­ме то­го, не­ко­то­рые ме­то­ды при­ме­ни­мы и к ма­т­ри­цам бо­лее об­ще­го ви­да.

2.1 Классификация задач

Тер­мин «про­б­ле­ма соб­ст­вен­ных значений» при­ме­ня­ют ко всем за­дачам, свя­зан­ным с на­хо­ж­де­ни­ем соб­ст­вен­ных значений и/или соб­ст­вен­ных ве­к­то­ров. Раз­личают пол­ную и час­тичную про­б­ле­мы соб­ст­вен­ных значений. Под по­л­ной про­б­ле­мой по­ни­ма­ют на­хо­ж­де­ние всех, а под час­тичной – не­ко­то­рых из­бран­ных соб­ст­вен­ных значений дан­ной ма­т­ри­цы. Соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры мо­гут по­лучать­ся вме­сте (од­но­вре­мен­но) с соб­ст­вен­ны­ми значени­я­ми ли­бо оп­ре­де­лять­ся от­дель­но с по­мо­щью спе­ци­аль­ных ме­то­дов.

Чис­лен­ные ме­то­ды, при­ме­ня­е­мые для ре­ше­ния по­л­ной и час­тичной про­б­лем соб­ст­вен­ных значений, прин­ци­пи­аль­но раз­личны. При вы­бо­ре то­го или ино­го ме­то­да при­хо­дит­ся учиты­вать не толь­ко со­дер­жа­ние при­клад­ной за­дачи, но и дру­гие фа­к­то­ры. На­при­мер, боль­шин­ст­во ме­то­дов ре­ше­ния час­тичной про­б­ле­мы ищут соб­ст­вен­ные значения по од­но­му, так что сум­мар­ные за­тра­ты за­ви­сят от раз­ме­ра ма­т­ри­цы и ко­личес­т­ва оп­ре­де­ля­е­мых значений. На­про­тив, ме­то­ды ре­ше­ния по­л­ной про­б­ле­мы на­хо­дят все соб­ст­вен­ные значения ра­зом; объ­ем ра­бо­ты за­ви­сит толь­ко от раз­ме­ра ма­т­ри­цы, причем удель­ные за­тра­ты, при­хо­дя­щи­е­ся на од­но соб­ст­вен­ное значение, ока­зы­ва­ют­ся значитель­но ни­же. Пра­к­ти­ка по­ка­зы­ва­ет, что ес­ли тре­бу­ет­ся оп­ре­де­лить бо­лее 25% всех соб­ст­вен­ных значений, то ре­ше­ние час­тичной про­б­ле­мы ста­но­вит­ся не­рен­та­бель­ным – го­ра­з­до бы­ст­рее ре­шить пол­ную про­б­ле­му и ото­брать те соб­ст­вен­ные значения, ко­то­рые дей­ст­ви­тель­но ну­ж­ны.

Дру­гой фа­к­тор, ко­то­рый ино­гда ока­зы­ва­ет­ся ре­ша­ю­щим – объ­ем тре­бу­е­мой па­мя­ти. В не­ко­то­рых пра­к­тичес­ких при­ло­же­ни­ях при­хо­дит­ся ре­шать про­б­ле­му соб­ст­вен­ных значений для ма­т­риц очень вы­со­ких по­ряд­ков (N10³10⁴). При этом па­мя­ти для раз­ме­ще­ния всех не­об­хо­ди­мых мас­си­вов мо­жет не хва­тить, и по­на­до­бят­ся спе­ци­аль­ные ал­го­рит­мы, по­з­во­ля­ю­щие эф­фе­к­тив­но ра­бо­тать с ма­т­ри­ца­ми, хра­ни­мы­ми на дис­ке, считы­вая поочеред­но в па­мять не­сколь­ко строк или столб­цов. Ес­ли для ма­т­ри­цы боль­шо­го раз­ме­ра ну­ж­ны соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры, то объ­ем до­с­туп­ной па­мя­ти мо­жет ока­зать­ся не­до­с­та­точным для раз­ме­ще­ния всех ве­к­то­ров. В этом случае при­хо­дит­ся от­ка­зы­вать­ся от од­но­вре­мен­но­го вычис­ле­ния соб­ст­вен­ных ве­к­то­ров и соб­ст­вен­ных значений (что бы­ло бы наи­бо­лее эко­но­мично в смы­с­ле вычис­ли­тель­ных за­трат) и на­хо­дить соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры по­оди­ночке с по­мо­щью спе­ци­аль­но­го ал­го­рит­ма по­с­ле то­го, как ре­ше­на пол­ная про­б­ле­ма для соб­ст­вен­ных значений.

За­дачи (и ме­то­ды их ре­ше­ния) клас­си­фи­ци­ру­ют так­же по стру­к­ту­ре ма­т­риц – на­при­мер, ма­т­ри­цы об­ще­го ви­да (не име­ю­щие осо­бых от­личитель­ных свойств), сим­мет­ричные, лен­точные (где от­личны от ну­ля лишь эле­мен­ты вбли­зи ди­а­го­на­ли). Раз­личают так­же плот­ные и раз­ре­жен­ные ма­т­ри­цы. К плот­ным от­но­сят ма­т­ри­цы, у ко­то­рых боль­шин­ст­во эле­мен­тов от­личны от ну­ля. Раз­ре­жен­ны­ми счита­ют ма­т­ри­цы, где ко­личес­т­во не­ну­ле­вых эле­мен­тов ма­ло по срав­не­нию с об­щим (обычно до­с­та­точно боль­шим) чис­лом эле­мен­тов. При этом не­ну­ле­вые эле­мен­ты мо­гут рас­по­ла­гать­ся ком­пакт­но (как в упо­мя­ну­тых вы­ше лен­точных ма­т­ри­цах) или быть раз­бро­сан­ны­ми по всей ма­т­ри­це. В случае раз­ре­жен­ных ма­т­риц мо­ж­но до­бить­ся значитель­ной эко­но­мии па­мя­ти и объ­е­ма вычис­ле­ний, ес­ли хра­нить и об­ра­ба­ты­вать толь­ко не­ну­ле­вые эле­мен­ты (ра­зу­ме­ет­ся, для это­го ну­ж­ны спе­ци­аль­ные ал­го­рит­мы).