1.3.2 Характеристическое уравнение

Из (10) следует, что соб­ст­вен­ный ве­к­тор яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем од­но­род­ной си­с­те­мы ли­ней­ных ал­ге­б­раичес­ких урав­не­ний

(AE)v=0 (12)

Как из­ве­ст­но, од­но­род­ная си­с­те­ма мо­жет иметь не­ну­ле­вые ре­ше­ния лишь в том случае, ес­ли ее оп­ре­де­ли­тель ра­вен ну­лю. Та­ким об­ра­зом, по­лучаем ус­ло­вие

det(AE)=0, (13)

называемое характеристическим уравнением. Ле­вая часть урав­не­ния (13), т. е. оп­ре­де­ли­тель ма­т­ри­цы AE пред­ста­в­ля­ет со­бой мно­гочлен N‑й сте­пе­ни от­но­си­тель­но . Он на­зы­ва­ет­ся ха­ра­к­те­ри­стичес­ким мно­гочле­ном ма­т­ри­цы A. Итак, соб­ст­вен­ные значения яв­ля­ют­ся кор­ня­ми ха­ра­к­те­ри­стичес­ко­го мно­гочле­на. Со­г­ла­с­но ос­нов­ной те­о­ре­ме ал­ге­б­ры, мно­гочлен N‑й сте­пе­ни име­ет ров­но N кор­ней (сре­ди ко­то­рых, воз­мо­ж­но, име­ют­ся крат­ные). По­э­то­му ма­т­ри­ца N-го порядка име­ет N соб­ст­вен­ных зна­че­ний ₁, ₂, …, _N.

Имеют место соотношения:

, (14)

. (15)

Из (14), в частности, следует, что вырожденная матрица имеет по крайней мере одно ну­ле­вое соб­ст­вен­ное значение.

В об­щем случае кор­ни мно­гочле­на мо­гут быть ком­п­лекс­ны­ми. По­э­то­му ма­т­ри­ца об­ще­го ви­да, во­об­ще го­во­ря, име­ет ком­п­лекс­ные соб­ст­вен­ные значения. Од­на­ко эр­ми­то­вы (и, как час­т­ный слу­чай, ве­ще­ст­вен­ные сим­мет­ричные) ма­т­ри­цы име­ют толь­ко ве­ще­ст­вен­ные соб­ст­вен­ные значения. Имен­но та­кие ма­т­ри­цы воз­ни­ка­ют в боль­шин­ст­ве при­клад­ных за­дач, упо­мя­ну­тых во вве­де­нии.

1.3.3 Собственные значения и собственные векторы диагональных матриц

Не­тру­д­но убе­дить­ся, что для ну­ле­вой и еди­ничной ма­т­риц лю­бой не­ну­ле­вой ве­к­тор яв­ля­ет­ся соб­ст­вен­ным.

Для произвольной ди­а­го­наль­ной ма­т­ри­цы  соб­ст­вен­ные значения сов­па­да­ют с ди­а­го­наль­ны­ми эле­мен­та­ми, а соб­ст­вен­ны­ми ве­к­то­ра­ми мо­гут слу­жить еди­ничные ве­к­то­ры e_i (столб­цы еди­ничной ма­т­ри­цы):

e_i=_ie_i (16)

1.3.4 Связь между собственными значениями и векторами подобных матриц

Ма­т­ри­цы, свя­зан­ные от­но­ше­ни­ем по­до­бия (5), име­ют оди­на­ко­вые ха­ра­к­те­ри­стичес­кие мно­гочле­ны, а сле­до­ва­тель­но, оди­на­ко­вые соб­ст­вен­ные значения (но раз­ные соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры). Пусть ма­т­ри­ца , по­доб­ная A, име­ет соб­ст­вен­ные значения _i и соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры u_i:

.

Ум­но­жая обе час­ти это­го равенства сле­ва на ма­т­ри­цу P, по­лучаем:

(17)

Та­ким об­ра­зом, соб­ст­вен­ным ве­к­то­ром ма­т­ри­цы A, от­вечаю­щим соб­ст­вен­но­му значению _i, яв­ля­ет­ся v_i=Pu_i (ре­зуль­тат дей­ст­вия пре­об­ра­зу­ю­щей ма­т­ри­цы P на соб­ст­вен­ный ве­к­тор по­доб­ной ма­т­ри­цы ).

1.3.5 Матрицы простой структуры

Ес­ли соб­ст­вен­ные значения ₁, ₂, …, _m по­пар­но раз­личны, то от­вечаю­щие им соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры все­гда ли­ней­но не­за­ви­си­мы. Для оди­на­ко­вых (крат­ных или вы­ро­ж­ден­ных) соб­ст­вен­ных значений ли­ней­ная не­за­ви­си­мость соб­ст­вен­ных ве­к­то­ров в об­щем случае не га­ран­ти­ро­ва­на, но в за­ви­си­мо­сти от свойств ма­т­ри­цы она все же мо­жет иметь ме­с­то. Ма­т­ри­ца A по­ряд­ка N на­зы­ва­ет­ся ма­т­ри­цей про­стой стру­к­ту­ры, ес­ли она име­ет N ли­ней­но не­за­ви­си­мых соб­ст­вен­ных ве­к­то­ров (в про­тив­ном случае ма­т­ри­ца на­зы­ва­ет­ся де­фект­ной). Соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры ма­т­ри­цы про­стой стру­к­ту­ры мо­гут слу­жить ба­зи­сом про­стран­с­т­ва.

Ут­вер­жда­ет­ся, что ма­т­ри­ца име­ет про­стую стру­к­ту­ру то­г­да и толь­ко то­г­да, ко­г­да она по­доб­на ди­а­го­наль­ной ма­т­ри­це. Ины­ми сло­ва­ми, для ма­т­ри­цы про­стой стру­к­ту­ры все­гда мо­ж­но най­ти пре­об­ра­зо­ва­ние (5), при­во­дя­щее ее к ди­а­го­наль­но­му ви­ду. Из со­по­с­та­в­ления урав­не­ний (16) и (17) вид­но, что та­кое пре­об­ра­зо­ва­ние обес­печива­ет­ся ма­т­ри­цей V, столб­цы ко­то­рой v_i яв­ля­ют­ся соб­ст­вен­ными ве­к­то­рами A:

V^1AV= (18)

Та­ким об­ра­зом, для ма­т­риц про­стой стру­к­ту­ры про­б­ле­ма соб­ст­вен­ных значений име­ет наи­бо­лее про­с­тое ре­ше­ние. Ос­та­ет­ся вы­яс­нить, ка­кие ма­т­ри­цы при­на­д­ле­жат к это­му клас­су. В час­т­но­сти, мо­ж­но по­ка­зать, что про­стую стру­к­ту­ру име­ет вся­кая ма­т­ри­ца, ком­му­ти­ру­ю­щая со сво­ей сопря­жен­ной, т. е. удо­в­ле­тво­ря­ю­щая ус­ло­вию AA^*=A^*A. Сле­до­ва­тель­но, к ма­т­ри­цам про­стой стру­к­ту­ры от­но­сят­ся (на­ря­ду с дру­ги­ми) эр­ми­то­вы (само­сопря­жен­ные) мат­ри­цы, пред­ста­в­ля­ю­щие наи­боль­ший ин­те­рес с точки зре­ния пра­к­тичес­ких при­ло­же­ний.

Как уже го­во­ри­лось, соб­ст­вен­ные значения эр­ми­то­вой ма­т­ри­цы все­гда ве­ще­ст­вен­ны, _i^*=_i. Собст­вен­ные ве­к­то­ры, от­но­ся­щи­е­ся к раз­личаю­щим­ся соб­ст­вен­ным значени­ям не про­с­то ли­ней­но не­за­ви­си­мы, а ор­то­го­наль­ны, т. е. v_i^*v_j=0, ес­ли _i_j. Дей­ст­ви­тель­но, рас­смо­т­рим про­из­ве­де­ние v_i^*Av_j при ус­ло­вии, что A^*=A. С од­ной сто­ро­ны, v_i^*Av_j=v_i^*(Av_j)=v_i^*(_jv_j)=_jv_i^*v_j. С дру­гой сто­ро­ны, учиты­вая (3в), мо­ж­но за­пи­сать v_i^*Av_j=(Av_i)^*v_j=(_iv_i)^*v_j=_iv_i^*v_j. Вы­чи­тая пер­вое ра­вен­ст­во из вто­ро­го, име­ем: 0=(_i_j)v_i^*v_j, от­ку­да сле­ду­ет ис­ко­мая ор­то­го­наль­ность. Из тех же со­об­ра­же­ний мо­ж­но сде­лать вы­вод, что соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры, от­но­ся­щи­е­ся к оди­на­ко­вым соб­ст­вен­ным значени­ям, не обя­за­ны быть ор­то­го­наль­ны­ми. Од­на­ко они дол­ж­ны быть ли­ней­но не­за­ви­си­мы­ми, по­сколь­ку ма­т­ри­ца A име­ет про­стую стру­к­ту­ру. За­ме­тим, что ес­ли двум раз­ным соб­ст­вен­ным ве­к­то­рам v_i и v_j от­вечают оди­на­ко­вые соб­ст­вен­ные значения _i_j, то лю­бая ли­ней­ная ком­би­на­ция этих век­то­ров тоже будет соб­ст­вен­ным ве­к­то­ром с тем же са­мым соб­ст­вен­ным зна­че­ни­ем: A(v_i+v_j)=Av_i+Av_j=v_i+v_j=(v_i+v_j). Из ли­ней­но не­за­ви­си­мых ве­к­то­ров мо­ж­но по­стро­ить вза­им­но ор­то­го­наль­ные ли­ней­ные ком­би­на­ции (провести ор­то­го­на­ли­за­цию), например, по Шмидту. Сле­до­ва­тель­но, для эрмитовой матрицы за­дачу мо­ж­но ре­шить та­ким об­ра­зом, чтобы все соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры были ор­то­го­наль­ны­ми не­за­ви­си­мо от крат­но­сти соб­ст­вен­ных значений.