1. Необходимые сведения из линейной алгебры

Ни­же при­ве­ден ми­ни­маль­ный на­бор све­де­ний, не­об­хо­ди­мых для по­ни­ма­ния даль­ней­ше­го ма­те­ри­а­ла. Боль­шин­ст­во ут­вер­жде­ний да­но без до­ка­за­тельств. До­ка­за­тель­ст­ва, а так­же бо­лее раз­вер­ну­тое из­ло­же­ние рас­сма­т­ри­ва­е­мых по­ня­тий мо­ж­но най­ти в стан­дарт­ных кур­сах ли­ней­ной ал­ге­б­ры. Обоз­начения и оп­ре­де­ле­ния да­ют­ся в со­от­вет­ст­вии со спра­вочны­ми из­да­ни­я­ми [¹, ²].

1.1 Обозначения

Ма­т­ри­цы и ве­к­то­ры обоз­начены бу­к­ва­ми, на­бран­ны­ми пря­мым по­лу­жир­ным шриф­том, причем для ма­т­риц ис­поль­зу­ют­ся про­пи­с­ные (за­глав­ные), а для ве­к­то­ров – строчные бу­к­вы. Ска­ляр­ные ве­личины обоз­начены бу­к­ва­ми ла­тин­ско­го или гречес­ко­го ал­фа­ви­та, на­бран­ны­ми кур­си­вом.

Ве­к­тор рас­сма­т­ри­ва­ет­ся как час­т­ный случай ма­т­ри­цы с един­ст­вен­ным столб­цом. Ве­к­тор‑стро­ка по­лучает­ся с по­мо­щью опе­ра­ции тран­с­по­ни­ро­ва­ния.

От­дель­ные эле­мен­ты ма­т­риц и ве­к­то­ров обоз­начают­ся со­от­вет­ст­ву­ю­щи­ми строчны­ми бу­к­ва­ми с ин­де­к­са­ми, на­при­мер:

a_ij – эле­мент ма­т­ри­цы A,

b_i – эле­мент ве­к­то­ра b.

Пер­вый ин­декс все­гда ука­зы­ва­ет но­мер стро­ки, а вто­рой – но­мер столб­ца. Другой способ указания эле­мен­тов – с по­мо­щью круг­лых ско­бок и ин­де­к­сов, на­при­мер:

(A)_ij – эле­мент ма­т­ри­цы A,

(b)_i – эле­мент ве­к­то­ра b.

Обоз­начения та­ко­го ро­да при­ме­ня­ют для эле­мен­тов ма­т­ричных вы­ра­же­ний в тех слу­ча­ях, ко­г­да воз­ни­ка­ет воз­мо­ж­ность не­од­но­значно­го тол­ко­ва­ния. Срав­ни­те, на­при­мер, два вы­ра­же­ния:

(A^1)_ij – эле­мент об­рат­ной ма­т­ри­цы,

– об­рат­ная ве­личина эле­мен­та ма­т­ри­цы A.

Единичная матрица обозначается буквой E:

Определитель (детерминант) матрицы A обозначается как det(A).

След матрицы (сумма диагональных элементов) обозначается символом tr:

1.2 Основные определения

1.2.1 Матричные операции

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной) – в противном случае. Матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно независимы. Для любой невырожденной матрицы A существует единственная матрица A^1 такая, что

(1)

Матрица A^1 называется обратной к матрице A.

Опе­ра­ция тран­с­по­ни­ро­ва­ния заключается в за­ме­не строк столб­ца­ми, а столб­цов – стро­ка­ми. Транспонирование обоз­на­ча­ет­ся штри­хом:

– результат транспонирования матрицы A, т. е. (A)_ij = a_ji

Имеют место следующие соотношения:

(A)=A, (2а)

(A+B)=A+B, (2б)

(A·B)=B·A, (2в)

(A^1)=(A)^1, (2г)

где  – скаляр.

Опе­ра­ция эр­ми­то­ва со­пря­же­ния (ино­гда на­зы­ва­е­мая про­с­то со­пря­же­ни­ем) обоз­начает­ся зве­з­дочкой (*). Со­пря­жен­ная ма­т­ри­ца по­лучает­ся в ре­зуль­та­те тран­с­по­ни­ро­ва­ния с за­ме­ной значений всех эле­мен­тов на ком­п­лекс­но со­пря­жен­ные ве­личины, т. е.

,

где черта над скалярной величиной означает операцию комплексного сопряжения:

(Очевид­но, что для ве­ще­ст­вен­ных ма­т­риц опе­ра­ция эр­ми­то­ва со­пря­же­ния не от­личает­ся от тран­с­по­ни­ро­ва­ния.) Име­ют ме­с­то сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

(A)*=A*, (3а)

(A+B)*=A*+B*, (3б)

(A·B)*=B*·A*, (3в)

(A^1)*=(A*)^1, (3г)

где  – вещественный скалярный множитель.

Для определителей выполняются следующие соотношения:

(4а)

(4б)

(4в)

Со­от­но­ше­ние (4в), очевид­но, яв­ля­ет­ся не­по­сред­ст­вен­ным след­ст­ви­ем оп­ре­де­ле­ния (1) и со­от­но­ше­ний (4а) и (4б).