Проблема собственных значений Введение

Не­об­хо­ди­мость в вычис­ле­нии соб­ст­вен­ных значений и соб­ст­вен­ных ве­к­то­ров раз­личных ма­т­риц воз­ни­ка­ет во мно­гих за­дачах фи­зи­ки и хи­мии. Пре­ж­де все­го, это ка­са­ет­ся кван­то­вой те­о­рии ато­мов и мо­ле­кул. Де­ло в том, что в кван­то­вой ме­ха­ни­ке фи­зичес­кие ве­личины (энер­гия, им­пульс, ко­ор­ди­на­та и т. п.) пред­ста­в­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми опе­ра­то­ра­ми. В ос­но­ве опи­са­ния лю­бой фи­зичес­кой си­с­те­мы ле­жит опе­ра­тор по­л­ной энер­гии – га­миль­то­ни­ан. Соб­ст­вен­ные функ­ции га­миль­то­ни­а­на есть не что иное, как во­л­но­вые функ­ции воз­мо­ж­ных со­сто­я­ний, в ко­то­рых мо­жет на­хо­дить­ся си­с­те­ма, а со­от­вет­ст­ву­ю­щие соб­ст­вен­ные значения – энер­гии этих со­сто­я­ний. Значение лю­бой на­блю­да­е­мой фи­зичес­кой ве­личины в том или ином со­сто­я­нии си­с­те­мы мо­жет быть по­лучено как сре­д­нее значение опе­ра­то­ра дан­ной ве­личины для во­л­но­вой функ­ции ин­те­ре­су­ю­ще­го со­сто­я­ния. По­с­ле то­го, как в ли­ней­ном про­стран­с­т­ве вы­бран ба­зис, опе­ра­то­ры пред­ста­в­ля­ют­ся в ви­де ма­т­риц. Соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры ма­т­ри­цы со­дер­жат ко­эф­фи­ци­ен­ты раз­ло­же­ния соб­ст­вен­ных функ­ций опе­ра­то­ра по это­му ба­зи­су.

Кван­то­вая ме­ха­ни­ка мо­ле­кул (кван­то­вая хи­мия) яв­ля­ет­ся, ве­ро­ят­но, наи­бо­лее ва­ж­ной, но да­ле­ко не един­ст­вен­ной об­ла­стью, где воз­ни­ка­ют за­дачи на соб­ст­вен­ные значения. В час­т­но­сти, к по­хо­жим за­дачам при­во­дит клас­сичес­кая те­о­рия ко­ле­ба­ний мо­ле­кул. Дру­гой при­мер: ре­ше­ние си­с­те­мы обы­к­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний 1-го по­ряд­ка с по­сто­ян­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми вы­ра­жа­ет­ся через соб­ст­вен­ные значения и соб­ст­вен­ные ве­к­то­ры ма­т­ри­цы ко­эф­фи­ци­ен­тов. Урав­не­ния та­ко­го ти­па име­ют много общего с урав­не­ни­я­ми хи­мичес­кой ки­не­ти­ки.

При ана­ли­зе си­с­тем ли­ней­ных ал­ге­б­раичес­ких урав­не­ний об­ще­го ви­да (осо­бен­но в случае пе­ре­оп­ре­де­лен­ных си­с­тем, ко­г­да чис­ло урав­не­ний пре­вы­ша­ет чис­ло не­из­ве­ст­ных) ва­ж­ное значение име­ют т. наз. син­гу­ляр­ные значения и син­гу­ляр­ные ве­к­то­ры ма­т­ри­цы. За­дача на­хо­ж­де­ния син­гу­ляр­ных значений те­с­но свя­за­на с за­дачей на соб­ст­вен­ные значения, и для ее ре­ше­ния при­ме­ня­ют­ся по­хо­жие чис­лен­ные ме­то­ды. На ис­поль­зо­ва­нии син­гу­ляр­ных значений и ве­к­то­ров ос­но­ва­на со­в­ре­мен­ная тех­ни­ка об­ра­бот­ки дан­ных с по­мо­щью ме­то­да наи­мень­ших ква­д­ра­тов.

На­ко­нец, в качес­т­ве не­сколь­ко эк­зо­тичес­ко­го при­ме­ра при­ло­же­ния за­дач на соб­ст­вен­ные значения к хи­мичес­ким про­б­ле­мам мо­ж­но ука­зать по­стро­е­ние т. наз. то­по­ло­гичес­ких ин­де­к­сов хи­мичес­ких со­еди­не­ний из соб­ст­вен­ных значений ма­т­ри­цы свя­зей. То­по­ло­гичес­кие ин­де­к­сы при­ме­ня­ют­ся, на­при­мер, при по­ис­ке ин­фор­ма­ции в хи­мичес­ких ба­зах дан­ных, а так­же при вы­яв­ле­нии кор­ре­ля­ций ме­ж­ду стро­е­ни­ем и свой­ст­ва­ми хи­мичес­ких со­еди­не­ний. Под­роб­нее об этом мо­ж­но прочитать в кни­ге «Хи­мичес­кие при­ло­же­ния то­по­ло­гии и те­о­рии гра­фов», ред. Р. Кинг, М.: Мир, 1987.