Лабораторная работа №8

Определение скорости распространения продольных звуковых волн

В воздухе и твердых телах

Цель работы

Изучение волновых процессов на примере продольных зву-ковых волн, возбуждаемых в воздушном канале и в твердых телах. Измерение скоростей распространения продольных зву-ковых волн в воздухе и в металлических стержнях.

Методические и теоретические основы работы

Продольные звуковые волны в газах и металлах представ-ляют собой периодические чередования сжатий и разрежений в соответствующей среде. При этом перенос энергии осу-ществляется без переноса вещества, т.е. частицы среды не во-влекаются в поступательное движение среды, в которой рас-пространяется звуковая волна, а совершают колебания отно-сительно своих положений равновесия. Вследствие взаимо-действия между частицами эти колебания распространяются в среде с некоторой скоростью , образуя бегущую волну.

Уравнение бегущей волны, если фронт её можно полагать плоским, а распространение происходит вдоль оси , имеет вид:

, (8.1)

где – смещение колеблющихся частиц;

– скорость распространения волны.

Решение уравнения (8.1) при распространении волны в без-граничной среде описывается функцией:

, (8.2)

где – циклическая частота;

– частота колебаний;

– волновое число;

– период колебаний;

– длина волны;

– текущее время;

– значение координаты вдоль оси ;

– начальная фаза волны;

– амплитуда волны.

В тех случаях, когда на пути бегущей волны встречается преграда, отраженная волна интерферирует с падающей и об-разуется стоячая волна. Если начало отсчета выбрать таким образом, чтобы разность начальных фаз падающей и отра-женной волн равнялась нулю, то уравнение стоячей волны примет вид:

(8.3)

Из уравнения (8.3) видно, что в каждой точке стоячей вол-ны с координатой совершаются гармонические колебания той же частоты , что и у встречных волн. Амплитуда ука-занных колебаний зависит от величины , и модуль её опре-деляется по формуле:

. (8.4)

В точках, координаты которых удовлетворяют условию:

(8.5)

где , амплитуда колебаний (по модулю) максималь-на. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из со-отношения (8.5) следует, что значения координат пучностей равны:

. (8.6)

Пучность представляет собой не точку, а плоскость, в ко-торой совершаются колебания, описываемые соотношением (8.3) при .

В точках, координаты которых удовлетворяют условию:

, (8.7)

где , амплитуда колебаний минимальна. Эти точки называются узлами. Их координаты:

. (8.8)

Узел, как и пучность, представляет собой не точку, а плос-кость, точки которой имеют координату , определяемую соот-ношением (8.8).

Из соотношений (8.6) и (8.7) следует, что расстояние меж-ду соседними пучностями (или узлами) равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны. Указанные факты используются для эксперименталь-ного определения длины волны колебаний. Наиболее целе-сообразно, если не возникает каких-либо препятствий техни-ческого характера, определять длину волны путем измерения расстояния между пучностями. По известной частоте источ-ника колебаний и измеренной длине волны определяется ско-рость распространения волн:

. (8.9)

Скорость перемещения частиц равна первой производной от соотношения (8.2) и также имеет свои пучности и узлы, сов-падающие с пучностями и узлами смещения. При этом, когда смещение и деформация, равная

, (8.10)

достигают максимальных значений, скорость частиц обраща-ется в нуль и наоборот.

Соответственно, дважды за период происходит превраще-ние энергии стоячей волны то полностью в кинетическую (пуч-ность скорости), то полностью в потенциальную (пучность де-формации). В результате происходит переход энергии от каж-дого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом поперечном сечении стоячей волны равен 0.

Хотя общий характер распространения продольных звуко-вых волн в металлах и газах одинаков, расчетные значения их фазовых скоростей определяются по различным соотноше-ниям, что обусловлено различиями в степени связи между час-тицами в различных средах. Скорость распространения звуко-вых волн в газе:

, (8.11)

где – постоянная адиабаты (для воздуха );

Дж ·моль К – универсальная газовая постоянная;

– термодинамическая температура, К;

– молярная масса газа (для воздуха кг·моль ).

Скорость распространения продольных звуковых волн в металлических стержнях равна:

, (8.12)

где – модуль Юнга, Па;

– плотность материала стержня, кг·м ;

Значения модуля Юнга и плотности для используемых в лабораторной работе материалов приведены в таблице 1.

Таблица 1