§ 5.Парабола. Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки , называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (не содержащей т. ).

Пусть – расстояние от до директрисы. По определению параболы , (11)

где точка – произвольная точка параболы, – ее проекция на директрису. Выберем систему координат так, чтобы т. была фокусом, а – директрисой.

y

M(x,y)

N

x

0

Рис. 8.

Запишем соотношение (11) в координатах:

(12)

это и есть уравнение параболы. После упрощения получим:

(13)

Уравнение (13) называется каноническим уравнением параболы.

Основные характеристики параболы:

1. Парабола (13) симметрична относительно оси .

2. Точка – вершина параболы (13).

3. Фокальный радиус точки M(x,y) параболы: .

Уравнение вида (14)

определяет параболу, для которой , т.е. график этой параболы:

y

M(x,y)

0

x

Рис. 9.

Уравнения вида (15)

(16)

задают параболы симметричные относительно оси :

y

N

y

x

0

M

M

x

0

N

Рис. 11.

Рис. 10.

«Вырождения» параболы:

1. , . Эти уравнения не определяют никакого точечного множества при .

2. , , эти уравнения определяют пару параллельных прямых: и . При эти прямые совпадают.

Пример. Парабола, симметричная относительно оси , имеет вершину в начале координат и проходит через точку (6,-2). Написать уравнение параболы и определить координаты ее фокуса.

Решение. Уравнение параболы, симметричной относительно оси : либо . Подставим координаты точки в оба уравнения:

, т.к. .

Уравнение параболы , ветви вниз и

0

6

x

-2

F(0;-4,5)

Рис. 12.

§ 6. Применение преобразования координат к приведению уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Значения коэффициентов общего уравнения (1) кривой II-го порядка определяют, к какому типу относится кривая (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Так, например, если и , то кривая – окружность или ее «вырождения». В общем случае, если:

1. , то кривая эллиптического вида.

2. , то кривая гиперболического вида.

3. , то кривая параболического вида.

С помощью преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей общее уравнение кривой II-го порядка можно привести к каноническому виду.

Рассматриваются следующие преобразования координат:

1. параллельный перенос координатных осей:

y

M

x

o

Рис. 13.

– точка с координатами в старой системе координат ,

– точка с координатами в новой системе координат ,

– начало координат новой системы с координатами в старой системе.

– формулы параллельного переноса координатных осей, выражающие старые координаты через новые.

– обратные формулы.

2. Поворот координатных осей на угол :

M

x

0

Рис. 14.

– точка с координатами в старой системе координат ,

– точка с координатами в новой системе координат .

– формулы преобразования координат т. при повороте осей на угол .

– обратные формулы.

Пример 1. С помощью параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду уравнение кривой и построить ее.

Решение. – кривая эллиптического типа. Преобразуем данное уравнение – сгруппируем полные квадраты

.

Положим эта система задает формулы параллельного переноса осей координат в т. . Получим уравнение эллипса: , с полуосями , и центром симметрии в т. .

y

0

b

x

O₁

-a

a

-b

Рис. 15.

Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей удается в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих и в первой степени.

Пример 2. Преобразовать уравнение к простейшему виду.

Решение: – кривая гиперболического типа. Повернем заданную систему координат на угол .

Подставим в заданное уравнение формулы

, , , .

Итак, при мы избавились в уравнении от слагаемого, содержащего произведение и получили уравнение вида

или

– это уравнение гиперболы с полуосями .

-

-

Рис. 16.

Замечание. С помощью поворота координатных осей удается избавиться от слагаемого, содержащего произведение .

Пример. 3. Привести к простейшему виду и построить кривую, заданную уравнением: .

Решение. – кривая параболического типа. Сгруппируем полный квадрат и преобразуем данное уравнение:

.Положим, что являются формулами параллельного переноса в т. . Получим уравнение: – парабола с вершиной в т. и симметричная относительно оси .

-2

O

-2

Рис. 17.

Пример 4. Построить кривую .

Решение. Перепишем уравнение , .

– кривая гиперболического типа.

Преобразуем данное уравнение:

Положим . Получим .

– новое начало координат после параллельного переноса.

Повернем оси координат и на угол (см. пример 2).

Получим уравнение ,

– гипербола, где .

Рис. 18.