§ 4. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами, и отличная от нуля.

Пусть – расстояние между фокусами и , – постоянная абсолютная величина разности расстояний. В силу определения . Пусть – произвольная точка гиперболы, тогда

. (8)

Векторы и , а так же их модули называют фокальными радиусами гиперболы. Выведем уравнение гиперболы в специально выбранной системе координат.

y

M(x,y)

x

0

F₁(-c,0)

F₂(с,0)

Рис. 5.

Пусть точка – произвольная точка гиперболы, тогда для нее выполняется равенство (8).

. (9)

Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Преобразуем (9) к более простому виду, дважды возведя в квадрат и упрощая, получим

.

Введем новую величину , тогда

. (10)

Уравнение (10) называется каноническим уравнением гиперболы.

Основные характеристики гиперболы:

1. Оси и – оси симметрии гиперболы, начало координат – центр симметрии гиперболы.

2. Область расположения гиперболы , с осью гипербола не пересекается. Точки , называются вершинами гиперболы. Действительной осью называется ось, пересекающаяся с кривой (в уравнении (10) ось ), а мнимой – ось, не пересекающаяся с кривой ( ).

3. а – действительная полуось, b – мнимая полуось, – полу фокусное расстояние.

4. Эксцентриситет гиперболы - это , .

5. Асимптоты гиперболы: . Асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами . Этот прямоугольник называют основным прямоугольником гиперболы. Вся кривая расположена вне прямоугольника, и только вершины лежат на сторонах .

6. Директрисы гиперболы: .

7. Фокальные радиусы т. гиперболы:

.

y

b

M(x,y)

x

0

-a

a

F₁(-c,0)

F₂(c,0)

-b

Рис. 6.

8. Уравнение задает гиперболу, сопряженную к (10). Для сопряженной гиперболы – действительная полуось, – мнимая полуось. Она расположена в области .(на рис. 6 изображена пунктиром).

«Вырождения» гиперболы:

, отсюда и

или и – пара пересекающихся прямых.

Пример. Точка лежит на гиперболе, уравнения асимптот которой . Составить уравнение гиперболы и построить ее.

Решение. Каноническое уравнение гиперболы , т.к. асимптоты , то , . Подставим последнее в уравнение гиперболы: , далее т. лежит на гиперболе, т.е. , , , , ; тогда . Итак, искомое уравнение .

y

x

Рис. 7.