23

§ 1. Понятие кривой на плоскости

Пусть задана декартова прямоугольная система координат . Кривой (или линией) на плоскости называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению , где – некоторая функция двух переменных. Для того, чтобы множество точек, координаты которых являются решениями уравнения , соответствовало наглядному представлению о кривой, на функцию накладывают соответствующие ограничения. Например, множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению , есть прямая.

Знание уравнения линии позволяет для любой точки определить, принадлежит ли она линии. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка принадлежит этой линии, если не удовлетворяют – не принадлежит.

Пример. Определить, принадлежат ли точки и линии, заданной уравнением .

Решение. При подстановке координат точек и в уравнение получим , ; , . Следовательно, точка принадлежит, а точка – не принадлежит данной линии.

Важный класс линий составляют те, для которых функция есть многочлен от двух переменных. В этом случае линия называется алгебраической кривой, а степень многочлена – порядком кривой. Алгебраическая кривая первого порядка – это прямая линия. Алгебраические кривые второго порядка – это окружность, эллипс, гипербола и парабола – будут изучаться в дальнейшем.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

, (1)

где хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

§ 2. Окружность. Каноническое уравнение окружности

Окружностью называется множество, состоящее из всех точек плоскости (геометрическое место точек), находящихся на равном расстоянии от фиксированной точки . Число называется радиусом окружности, а точка – её центром.

Найдем уравнение окружности в заданной системе координат . Пусть точка совпадает с началом координат , а – текущая точка окружности, т.е. точка, описывающая окружность.

y

M(x,y)

R

О

x

Рис. 1.

Из определения окружности следует, что точка тогда и только тогда принадлежит окружности, когда или , возводя обе части этого равенства в квадрат, получим уравнение

. (2)

Это есть каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом .

Если центр окружности находится в точке , то уравнение такой окружности будет

. (3)

Возводя двучлены, стоящие в левой части равенства (3), в квадрат, получим

.

Мы видим, что уравнение окружности есть алгебраическое уравнение второй степени, и, сравнивая с уравнением (1), получаем, что уравнение (1) есть окружность, если и . Обратное тоже верно.

Пример. Показать, что уравнение задает окружность. Найти ее центр и радиус.

Решение. Т.к. , – это окружность. Выделим полные квадраты

Получили уравнение окружности с центром в т. и радиусом .

§ 3. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество, состоящее из точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть – расстояние между фокусами, – постоянная сумма расстояний. В силу определения . Точка М – произвольная точка эллипса, тогда

. (4)

Векторы и , а так же их модули называют фокальными радиусами.

y

M(x,y)

F₁

F₂

-с

с

x

0

Рис. 2.

Выведем уравнение эллипса в специально выбранной системе координат, где ось абсцисс проходит через точки и , начало координат делит отрезок пополам, и система координат – правая.

В выбранной системе координат уравнение (4) имеет вид

. (5)

Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простому виду путем возведения в квадрат и введения новой величины

, (6)

а именно

. (7)

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллипса.

Основные характеристики эллипса:

1. Оси и – оси симметрии, начало координат – центр симметрии эллипса.

2. Эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: , .

3. Точки , , , – вершины эллипса.

4. – большая полуось, – малая полуось и –полуфокусное расстояние.

5. Эксцентриситет эллипса – это . Отношение . Отсюда видно, что чем ближе к единице, тем меньше , т.е. эллипс более вытянут. Если эксцентриситет близок к нулю, эллипс по форме близок к окружности. Случай, когда , т.е. – есть окружность.

6. Директрисы эллипса: .

7. Фокальные радиусы т. эллипса:

y

B₂(0,b)

M(x,y)

A₂(a,0)

A₁(-a,0)

x

F₂(c,0)

F₁(-c,0)

0

B₁(0,-b)

Рис. 3.

«Вырождения» эллипса:

1. – задает точку ;

2. – мнимый эллипс.

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и . Построить кривую.

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид . Если точки и лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е. . Решая эту систему, относительно и , найдем . Уравнение эллипса . Т.к. , то фокусы этого эллипса находятся на оси и . Итак, и .

y

4

F₂

x

0

-2

2

F₁

-4

Рис. 4.