Решить неравенство:

1) (0,5)^2x+2<3∙(0,5)^x.

Сделаем замену: пусть (0,5)^х=у. Получаем неравенство:

у²+2<3y или y²-3y+2<0.

Разложим квадратный трехчлен y²-3y+2 на линейные множители по формуле:

ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂), где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

Находим корни приведенного квадратного уравнения y²-3y+2=0. Дискриминант D=b²-4ac=3²-4∙1∙2=9-8=1=1². Так как дискриминант является полным квадратом, то применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

у₁+у₂=3, у₁∙у₂=2. Отсюда: у₁=1, у₂=2. Значит, y²-3y+2=(у-1)(у-2).

Решаем неравенство: (у-1)(у-2)<0 методом интервалов.

Получаем: ує(1; 2), отсюда: (0,5)^хє(1; 2).

(0,5)^х=1 → (0,5)^х=(0,5)⁰ → х=0.

(0,5)^х=2 → (¹/₂)^x=2 → 2^{— x}=2¹ → -x=1; x=-1. Значит, хє(-1; 0).

Ответ: (-1; 0).

2) 9^x-1<3^x-1+6.

Представим 9^х-1 в виде степени числа 3.

3^{2 (x-1)}<3^x-1+6. Сделаем замену: 3^х-1=у. Тогда получается квадратное неравенство: у²<y+6. Переносим слагаемые в левую часть.

у²-у-6<0. Находим корни приведенного квадратного уравнения у²-у-6=0. Проверим, возможно ли применить теорему Виета, ведь ею пользуются только, если корни  являются целыми числами. Гарантией этого будет дискриминант, который должен быть полным квадратом некоторого числа. Находим дискриминант D=b²-4ac=1-4∙(-6)=1+24=25=5². Дискриминант является полным квадратом числа 5, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: у₁+у₂=1, у₁∙у₂=-6. Подходят значения: у₁=-2 и у₂=3.

Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители, получаем:

(у+2)(у-3)<0. Решаем полученное неравенство методом интервалов.

ує(-2; 3). Возвращаемся к переменной х:

3^х-1є(-2; 3), но так как отрицательных значений степень 3^х-1 принимать не может, то запишем: 3^х-1є(0; 3). Определим интервал значений переменной х.

3^х-1→0 при х-1 → -∞, так как число 3  в степени, стремящейся к минус бесконечности, фактически будет равным нулю, значит, х→ -∞.

Далее, 3^х-1=3 → 3^х-1=3¹ → х-1=1 → х=2.

Получили хє(-∞; 2).

Ответ: (-∞; 2).

Простейшими считаются показательные неравенства вида: a^x<a^y, a^x>a^y .  (a^x≤a^y, a^x≥a^y).

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция у=а^х является возрастающей (а>1); eсли же показательная функция у=а^х убывает (0<a<1), то знак нового неравенства меняют на противоположный:

a^x<a^y → x<y, если a>1; знак сохранен, так как функция возрастает;

a^x<a^y → x>y,  если 0<a<1; функция убывает – знак поменялся;

a^x>a^y → x>y, если  a>1; знак сохранен, так как функция возрастает

a^x>a^y → x<y, если 0<a<1; функция убывает – знак поменялся.

Примеры.

Решить неравенство:

1) 4^5-2x<0,25.

Представим правую часть в виде: 0,25=(²⁵/₁₀₀)=(¹/₄)=4^-1;

4^5-2x<4^-1; функция у=4^х с основанием 4>1 возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:

5-2x<-1;

— 2x<-1-5;

— 2x<-6  |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный:

x>3.

Ответ: (3; +∞).

2) 0,4^2х+1≥0,16.

Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем:

0,4^2х+1≥0,4²; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:

2х+1≤2;

2х≤2-1;

2х≤1  |:2

x≤0,5.

Ответ: (-∞; 0,5].

3) 2^3-x+2^1-x>40.  Применим формулу: a^x+y=a^x∙a^y.  Запишем неравенство в виде:

2³∙2^-x+2¹∙2^-x>40; Вынесем общий множитель за скобки:

2^-x∙(2³+2¹)>40;   упрощаем левую часть:

2^-x∙(8+2)>40;

2^-x∙10>40   |:10

2^-x>4;

2^-x>2²;  основание степени — число 2>1, значит, знак неравенства сохраняем:

— x>2  |:(-1) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число — знак неравенства меняют на противоположный:

x<-2.

Ответ: (-∞; -2).

4) 3^x+2+3^x+1+3^x≤39. Применяем формулу:  a^x∙a^y=a^x+y

3^x∙3²+3^x∙3¹+3^x≤39; вынесем общий множитель за скобки:

3^x∙(3²+3¹+1)≤39; упрощаем левую часть неравенства:

3^x∙(9+3+1)≤39;

3^x∙13≤39  |:13

3^x≤3;

3^x≤3¹; Показательная функция с основанием 3 (3>1) является возрастающей, поэтому, знак неравенства сохраним:

x≤1.

Ответ: (-∞; 1].

Простейшие показательные неравенства a^x

Если основание а>1, то показательная функция возрастает, знак неравенства остается прежним.

Если основание 0<а<1, то показательная функция убывает, знак неравенства изменяется.

Методы решения показательных неравенств

При решении показательных уравнений используют метод замены переменной.