Контрольные вопросы

1. Чему должны быть равны суммы по строкам социометрической таблицы ?

2. Как общая сумма всех выборов группы выражается через число “n” участников опроса ?

3. Чему равна сумма значений всех трех социометрических индексов?

4. Как можно интерпретировать заметные различия в индексе нейтральности у исследуемых групп?

5. Можно ли ожидать изменения результатов социометрии по мере обучения студентов в вузе (например, при переходе группы с курса на курс)?

Литература

1. Андреева Г.М. (ред.) Лекции по методике конкретных социальных исследований. М.: МГУ, 1972. – С. 143–173.

2. Столяр И.Г., Курносов Д.М. Бригадир на производстве. М.: Экономика, 1977. – С. 25–31.

3. Кузьмин Е.С. (ред.) Методы социальной психологии. Л.: ЛГУ, 1977. – С. 61–132.

Практическая работа № 2

ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ

Разделы программы: Методология научного познания. Метрология. Роль математики в науке.

Необходимые предварительные знания: – – –

Теоретическая часть

Все числа, используемые в науке и на практике, делятся на точные и приближенные. Так, почти все результаты измерений выражаются приближенными числами (за счет ошибок измерений, что подробно рассматривается в практической работе по метрологии). Любое приближенное число имеет определенную степень точности (т.е. определенную погрешность), которая обусловлена погрешностью его округления.

Округлением называют процедуру отбрасывания (т.е. замену нулями) цифр минимальных разрядов у рассматриваемого числа по определенным правилам. Известны правила округления с недостатком, с избытком и с поправкой, которые различаются по приемам действий с содержимым (т.е. с цифрой) оставляемого раз­ряда числа (он называется округляемым разрядом). В первом слу­чае указанную цифру не меняют, во втором ее увеличивают на единицу. В третьем случае эту цифру либо не меняют (если отбрасываемая часть меньше половины единицы округляемого разряда, т.е. непосредственно примыкающая к округляемому разряду отбрасываемая цифра меньше 5), либо увеличивают на единицу (если отбрасываемая часть больше половины единицы округляемого раз­ряда). Если же отбрасываемая часть в точности равна половине еди­ницы округляемого разряда (т.е. отбрасывается непосредственно примыкающая единственная цифра 5), то поступают любым из рассмотренных способов. Если правило округления специально не оговорено, следует пользоваться округлением с поправкой. Это наиболее часто встречающийся в практике случай. Как следует из предыдущего, в округленном числе цифра минимального разряда является сомнительной (может отличаться от исходной на единицу).

После проведения округления приближенного числа степень точности последнего может быть оценена двояко: либо по наименованию округленного разряда (говорят: округлено до сотых, десятков, до целых и т.д.), либо по числу значащих цифр в округленной величине. Значащими цифрами числа называют все его точные и сомнительные цифры.

Ход работы

1. Проведите округление ряда чисел: 21,43; 128,72; 2,15; 8,387

а) до десятых;

б) до целых;

в) до десятков;

пользуясь при этом последовательно правилами округления с недостатком, с избытком и с поправкой. Укажите число значащих цифр после округления в каждом случае.

2. Сложите два числа: 241,3 и 25,56, считая их

а) точными;

б) приближенными.

Если в первом случае результат 266,86 является правильным, то во втором случае он неправильный. Чтобы убедиться в последнем, замените отброшенные цифры знаками “?” и произведите сложение:

241,3??

+

25,56?

----------

266,8??

Таким образом, в разряде “сотых” цифра оказывается неизвестной, а в разряде “десятых”, как и следовало ожидать, – сомнительной (во-первых, цифра “3” сомнительна, во-вторых, отброшенная ближайшая к ней цифра могла быть “4” или даже “5”).

3. Сформулируйте и запишите правило сложения приближенных чисел, указав, согласно какой степени точности и по какому принципу ее оценки следует обязательно округлять результат сложения. Из этого правила и рассмотренного примера следует правило рационального способа сложения приближенных чисел:

При сложении приближенных чисел рационально заранее округлить все слагаемые согласно точности, определяемой по разряду округления, наименее точного из них. Полученные результаты достаточно сложить по правилу сложения точных чисел.

В этом способе процедура сложения оказывается приближенной, поэтому правила действий с приближенными числами также называют правилами приближенных вычислений. Убедитесь на ранее рассмотренном примере, что в рамках приближенных вычислений рациональный способ дает тот же результат.

4. Используйте числовые данные предыдущего примера и проведите вычитание, считая, как и ранее, сначала данные числа точными, а затем - приближенными. Сформулируйте и запишите правило вычитания приближенных чисел и способ рационализации и сравните их с соответствующими процедурами для сложения.

5. Умножьте два числа: 24,3 и 1,5, считая их

а) точными;

б) приближенными.

Результат 36,45 является правильным в первом случае и неправильным – во втором. Убедитесь в последнем утверждении, воспользовавшись в расчетах добавлением знаков “?”:

24,3?

x

1,5?

------------

????

1215?

243?

------------

36,????

Таким образом, здесь, в отличие от сложения, в результате (в произведении) сомнительной является не цифра разряда “деся­тых”, а цифра разряда “единиц”.

Сформулируйте и запишите правило умножения приближенных чисел, указав, согласно какой степени точности (и по какой ее оценке) следует обязательно округлить результат.

6. Исходя из выведенного правила, сформулируйте и запишите правило рационального способа умножения приближенных чисел.

7. Воспользовавшись исходными данными из п.5 или любыми другими, проведите деление, считая, как и ранее, вначале эти числа точными, а затем – приближенными. Сформулируйте и запишите правило деления приближенных чисел и способ рационализации и сравните их с соответствующими процедурами для умножения.

Резюме

Математические действия с приближенными числами производятся по правилам, отличающимся от правил действий с точными числами. Подмена одних правил другими приводит к неправильным числовым результатам и влечет за собой неправильные заключения вплоть до полной ошибочности последних.