Ход работы

1. Исследуйте на экстремум функцию V(x), аналитическое выражение которой имеет следующий общий вид:

V(x)=x³+cx,

где с - произвольная постоянная.

Решение:

При с0 критические точки отсутствуют (в действительной области определения), при с0 существуют 2 критические точки:

Характер экстремумов определяем по второй производной:

В точке х₁:

в точке х₂:

2. Таким образом, для функции V(x) наличие экстремумов и их характер зависят от значения постоянной с, входящей в аналитическое выражение этой функции. В теории катастроф V называется потенциальной функцией. Она может иметь и другое аналитическое выражение. Физический смысл функции V – описание состояний равновесия отображаемой реальной системы. При этом устойчивое состояние равновесия соответствует минимуму V, неустойчивое – максимуму V. (Простейшим примером потенциальной функции является потенциальная энергия системы.) Переменная х (их может быть несколько) называется поведенческой переменной, а постоянная с (их так же может быть несколько) – управляющим параметром. Употребляются и сокращенные термины: функция, переменная и параметр соответственно. Стандартная запись потенциальной функции в теории катастроф имеет общий вид: V_c(x).

Е

x_k

сли рассмотреть зависимость значений критической точки x_k (см. п. 2) от управляющего параметра с (такая зависимость называется функцией отклика системы, сокращенно – откликом), то в графическом представлении она будет иметь вид:

В

x₁

x₂

0

с

ерхняя ветвь графика относится к минимумам потенциальной функции, нижняя – к максимумам. В точке с=0 обе ветви сливаются, что соответствует слия­нию и исчезновению минимумов и макси­мумов функции V, т.е. образованию точки перегиба. Исчезновение минимумов по­тен­циальной функции означает, что в таких точках x_k(c) (они называются осо­быми, или вырожденными критически­ми точками) система теряет состояние устойчивого равновесия, т.е. наступает катастрофа. Рассмотренная выше катастрофа в теории называется катастрофой складки и является простейшей из 7 элементарных катастроф Тома. Для нее числа переменных и параметров минимальные (равны 1).

Примечание: Название “складка” заимствовано Р. Томом из теории особенностей гладких отображений Х. Уитни. Формально “складку” (непрерывный перенос ветвей функции отклика перпендикулярно плоскости вышеприведенного чертежа) можно получить, если в аналитическое выражение рассмотренной функции V добавить произвольную постоянную d в качестве слагаемого. Это не повлияет на результаты вышеприведенного анализа, но график функции x_k(c, d) станет объемным.

3. Перепишите в протокол и уясните остальные 6 потенциальных функций элементарных катастроф и их названия:

а) ; (n=1, r=2; сборка);

б) ; (n=1, r=3; ласточкин хвост);

в) ; (n=2, r=3; волос);

г) ; (n=2, r=3; падающая волна);

д) ; (n=1, r=4; бабочка);

е) ; (n=2, r=4; гриб).

В скобках после формул указаны: число переменных n, число параметров r и название катастрофы. Для некоторых из катастроф имеются и другие названия (синонимы), которые здесь не приводятся. Как доказано Р. Томом, эти 7 функций охватывают все случаи возможных катастроф при и любом n.

4. Методика анализа перечисленных катастроф общая и включает следующие этапы:

а) нахождение аналитических выражение всех первых производных потенциальной функции и приравнивание их нулю;

б) нахождение аналитических выражений вторых производных и приравнивание их нулю (для функций от нескольких переменных – определителя, составленного из этих производных);

в) решение полученных уравнений с нахождением критических значений переменных (т.е. функции отклика) и взаимосвязи параметров (последнее называется отображением в пространстве управления);

г) выявление множества катастроф, т.е. особых критических точек, где исчезают минимумы и максимумы потенциальной функции, заменяясь на точки перегиба.

Таким образом, если удается математически промоделировать изучаемую систему на поведение которой влияют не более 4-х независимых параметров, с помощью одной из перечисленных функций (т.е. подвести явление под случай элементарной катастрофы), то можно предсказать указанную катастрофу (т.е. скачкообразное изменение равновесного состояния) на основе рассчитанных особых критических точек и соответствующих значений управляющих параметров.

5. В качестве примера использования теории катастроф в термодинамике рассмотрите систему так называемого реального газа, описываемую уравнением Ван-дер-Ваальса:

где p, v, T – соответственно давление, молярный объем и абсолютная температура газа, R – универсальная газовая постоянная (R8,31 ), a и b – характерные для каждого газа константы.

Если ограничиться исследованием изотермических процессов (T=Const) и выразить аналитически в явном виде функцию давления p(v), получим:

Будем считать p_T(v) потенциальной функцией, v – поведенческой переменной, T – управляющим параметром. Величины a, b, R – константы.

6. Применяя к функции p_T(v) подход, изложенный выше в п. 4, найдите множество катастроф.

Решение:

Решая совместно два последних уравнения (проделайте выкладки!), находим:

Привлекая уравнение Ван-дер-Ваальса, можно найти и критическое давление:

Таким образом, множество катастроф состоит всего из одной точки, определяемой значением управляющего параметра T_k и соответствующими значениями переменной v_k и функции p_k. То есть это – катастрофа складки (n=1, r=1).

7. Полученный результат известен из классической термодинамики. Он описывает состояние вещества при так называемой критической температуре T_k, когда различие между жидким и газообразным состоянием исчезает, и двухфазная система “жид­кость – ее пар” в закрытом объеме переходит в однофазное состояние. Такой переход происходит скачкообразно при нагревании вещества до критической температуры, что вполне укладывается в рамки теории катастроф.

Резюме

Теория катастроф позволяет прогнозировать скачкообразные изменения в поведении моделируемых систем. При этом основной упор делается на анализе управляющих поведением системы параметров, что дает возможность отслеживать динамику последних и при необходимости, воздействуя на них, избежать катастрофы.