Лабораторная работа № 3
Тема: «Построение функции принадлежности на основе экспертной информации»
Изучить метод статистической обработки экспертной информации. Усвоить метод построения функций принадлежности на основе парных сравнений. Овладеть методом построения функций принадлежности с помощью кластеризации экспериментальных данных. Для каждого из методов, которые изучаются определить термы, и построить их графики по экспертным данным.
Практическое
использование теории нечетких множеств
предполагает наличие функций
принадлежностей, которыми описываются
лингвистические термы «низкий»,
«средний», «высокий» и т.п. Задача
построения функций принадлежности
ставится следующим образом: даны два
множества: множество термов 
и универсальное множество 
.
Нечеткое множество
,
которым описывается лингвистический
терм 
, 
,
на универсальном множестве
представляется в виде:
(3.1)
Необходимо
определить степени принадлежностей
элементов множества
к
элементам из множества
,
т.е. найти 
для
всех 
и 
.
В разделе рассматриваются два метода построения функций принадлежности. Первый метод основан на статистической обработке мнений группы экспертов. Второй метод базируется на парных сравнениях, выполняемых одним экспертом.
Метод статистической обработки экспертной информации
Каждый эксперт
заполняет опросник, в котором указывает
свое мнение о наличии у элементов 
свойств нечеткого множества
.
Опросник имеет следующий вид:
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем следующие обозначения:
-
количество экспертов;
- мнение k-го эксперта
о наличии у элемента 
свойств
нечеткого множества
,
,
,
.
Будем считать, что
экспертные оценки бинарные, т.е.: 
,
где 1 (0) указывает на наличие (отсутствие)
у элемента
свойств
нечеткого множества
.
По результатам опроса экспертов, степени
принадлежности нечеткому множеству
рассчитываются
следующим образом:
(3.2)
Пример: Построить функции принадлежности термов «низкий», «средний», «высокий», используемых для лингвистической оценки переменной «рост мужчины». Результаты опроса пяти экспертов приведены в табл. 3.1.
Результаты обработки экспертных мнений представлены в таблице 3.2. Числа над пунктирной линией - это количество голосов, отданных экспертами за принадлежность нечеткому множеству соответствующего элемента универсального множества. Числа под пунктирной линией - степени принадлежности, рассчитанные по формуле (3.2). Графики функций принадлежностей показаны на рис. 3.1.
Таблица 3.1
Результаты опроса экспертов
k |
термы |
[160, 165] |
[165, 170] |
[170, 175] |
[175, 180] |
[180,185] |
[185, 190] |
[190,195] |
[195, 200] |
эксперт 1 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
средний |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
эксперт2 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
средний |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
эксперт 3 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
эксперт 4 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
средний |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
эксперт5 |
низкий |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
средний |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Таблица 3.2
Результат обработки экспертных мнений для Х1
термы |
|
[160, 165] |
[165, 170] |
[170, 175] |
[175, 180] |
[180,185] |
[185, 190] |
[190,195] |
[195, 200] |
н |
кол-во |
5 |
5 |
4 |
3 |
2 |
3 |
0 |
2 |
μj(Uj) |
1 |
1 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
0,6 |
0 |
0,4 |
|
с |
кол-во |
1 |
1 |
3 |
5 |
4 |
4 |
4 |
1 |
μj(Uj) |
0,2 |
0,2 |
0,6 |
1 |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
0,2 |
|
в |
кол-во |
0 |
0 |
1 |
2 |
2 |
5 |
4 |
5 |
μj(Uj) |
0 |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,4 |
1 |
0,8 |
1 |
Рис. 3.1 - Функции принадлежности нечетких множеств из примера 3.1
Вывод: Таким образом, на основе экспертных оценок определены функции принадлежности.
Варианты заданий:
В1
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
средний |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
средний |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
средний |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
высокий |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
n= |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В2
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
средний |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
средний |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
высокий |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
средний |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
средний |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
высокий |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
В3
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
средний |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
высокий |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
средний |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
средний |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
средний |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
высокий |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
В4
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
средний |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
средний |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
высокий |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
средний |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
высокий |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
высокий |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
В5
-
k
термы
[160, 165)
[165, 170)
[170, 175)
[175, 180)
[180, 185)
[185, 190)
[190, 195)
[195, 200)
Эксперт 1
низкий
1
1
0
0
0
1
0
0
средний
1
1
0
0
0
1
1
1
высокий
1
0
0
1
1
0
0
0
Эксперт 2
низкий
1
0
0
0
0
1
0
1
средний
1
0
0
1
0
1
0
0
высокий
0
0
1
0
1
1
1
1
Эксперт 3
низкий
1
0
1
0
1
0
0
0
средний
1
0
0
1
0
0
0
0
высокий
0
1
1
0
0
0
0
0
Эксперт 4
низкий
1
1
1
1
0
0
1
0
средний
1
0
1
1
1
1
1
1
высокий
1
0
1
1
0
0
1
0
Эксперт 5
низкий
1
1
0
1
1
1
0
0
средний
0
1
1
1
0
1
0
1
высокий
0
1
0
1
1
0
1
0
В6
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
средний |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
высокий |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
средний |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
средний |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
высокий |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
средний |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
высокий |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
В7
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
средний |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
средний |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
средний |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
высокий |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
средний |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
средний |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
высокий |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
В8
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
средний |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
средний |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
высокий |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
В9
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
средний |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
средний |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
средний |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
средний |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
средний |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
В10
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
средний |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
средний |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
В11
k |
термы |
[160, 165) |
[165, 170) |
[170, 175) |
[175, 180) |
[180, 185) |
[185, 190) |
[190, 195) |
[195, 200) |
Эксперт 1 |
низкий |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
средний |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 2 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
Эксперт 3 |
низкий |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
средний |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 4 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
средний |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Эксперт 5 |
низкий |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
средний |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
высокий |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
В12
-
k
термы
[160, 165)
[165, 170)
[170, 175)
[175, 180)
[180, 185)
[185, 190)
[190, 195)
[195, 200)
Эксперт 1
низкий
1
1
1
1
1
0
0
1
средний
0
0
0
1
1
1
1
1
высокий
0
0
0
0
0
1
1
1
Эксперт 2
низкий
1
1
1
0
0
1
0
1
средний
0
0
1
1
1
1
1
0
высокий
0
0
0
0
0
1
1
1
Эксперт 3
низкий
1
1
1
1
0
0
0
0
средний
1
1
1
1
1
0
1
0
высокий
0
0
0
1
0
1
1
1
Эксперт 4
низкий
1
1
1
0
1
1
0
0
средний
0
0
1
1
1
1
1
0
высокий
0
0
0
0
1
1
1
1
Эксперт 5
низкий
1
1
0
1
0
1
0
0
средний
0
0
0
1
0
1
0
0
высокий
0
0
1
1
1
1
0
1