Интерполирование функций полиномом.

Постановка задачи. Функция определена на отрезке , задана своими значениями в равноотстоящих узлах , т.е. . Определить значение функции в точке .

1. Полином Ньютона. Если функция определена на отрезке и задана своими значениями в равноотстоящих узлах , , , то задача интерполяции решается в двух случаях.

1. Когда точка находится в начале таблицы значений используется первая интерполяционная формула Ньютона

,

, , , .

Тогда , , .

2. Когда точка находится в конце таблицы значений используется вторая интерполяционная формула Ньютона

,

.

Тогда , , .

2. Интерполяционная формула Лагранжа. Если функция определена на отрезке и дана своими значениями в не равноотстоящих узлах , , , то задача интерполяции решается с помощью полинома Лагранжа

, , , .

Приближенное решение обратной задачи интерполирования

Постановка задачи. Пусть функция определена на отрезке и задана своими значениями в точках . Необходимо найти значение аргумента по известному значению функции в этой точке .

Предположим, что монотонна на отрезке и , где , .

Задача обратного интерполирования решается для двух случаев: для равноотстоящих и не равноотстоящих узлов.

1. Случай равноотстоящих узлов, т.е. , , ; предположим так же, что и достаточно мал.

Тогда задача решается использованием первого интерполяционного полинома Ньютона

,

где необходимо определить , чтобы найти . Выделив из полинома получим уравнение , где

.

Решение данного уравнения можно искать например методом половинного деления или методом итерации по схеме , полагая , , и так далее. То предел будет решением уравнения.

Тогда будет решением обратной задачи интерполирования. Погрешность полученного решения будет состоять из погрешностей интерполяционной формулы и метода итерации.

2. Случай не равноотстоящих узлов, т.е. , , .

В этом случае используется формула Лагранжа, считая независимой переменной, выражая через :

, ,

, .

Приближенное дифференцирование

Постановка задачи. Пусть функция определена на отрезке и задана своими значениями в точках . Для приближенного дифференцирования функцию заменяют интерполирующей функцией и полагают

, , ;

с погрешностью , , .

Тогда при получим

,

при

.

Если , то

, ,

, .

Численное интегрирование

Постановка задачи. Пусть функция определена и интегрируема на отрезке . Необходимо найти значение определенного интеграла , когда первообразная , неизвестна или ее трудно найти, или задана своими значениями , , .

Общий подход в численном интегрировании заключается в следующем:

1. Для функции строится аппроксимирующая функция , так чтобы на отрезке , при этом класс аппроксимирующей функции может зависеть от свойств функции , от необходимой точности вычисления интеграла, от числа арифметических действий, от времени работы алгоритма и т.д.;

2. Функция выбирается так, чтобы интеграл легко считался;

3. Функция выбирается так, чтобы или , где - задаваемая точность вычисления интеграла.

Для применения методов численного интегрирования делят отрезок системой равноотстоящих точек , , , , на отрезки , и рассматривают сумму интегралов .

Исходя из этих соображений и допущений обычно используют следующие формулы численного интегрирования.

1. Формула левых прямоугольников. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

2. Формула правых прямоугольников. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

3. Формула средних прямоугольников. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

4. Формула трапеций. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

5. Формулы Ньютона-Котеса. Если на отрезке заменить интерполирующим полиномом Лагранжа , то получим формулы Ньютона-Котеса

, , .

При получим из этих соотношений формулу трапеции.

6. Формула Симпсона. Получается из формул Ньютона-Котеса при четном числе разбиений отрезка и рассмотрении интерполяции функции на трех точках, т.е. приближается квадратичным трехчленом вида :

, .