Краткая теория к лабораторным и контрольным работам Приближенное решение нелинейного уравнения
Метод половинного деления.
Постановка задачи. Дано нелинейное
уравнение
,
где функция
определена и непрерывна для всех
,
причем функция меняет знак на концах
этого отрезка, т.е.
.
Найти приближенное решение данного
уравнения
с точностью
,
а так же необходимое для этого число
разбиений отрезка
.
Приближенное решение
и погрешность приближения
находятся по следующей схеме:
,
,
;
где
,
удовлетворяет условиям
,
;
из последнего определяется число
разбиений отрезка
.
Метод хорд.
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .
Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .
Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:
если
на
,
то
,
,
;
если
на
,
то
,
,
.
Приближенное решение и погрешность приближения :
,
.
Метод Ньютона (метод касательных).
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .
Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .
Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:
,
;
если на , то ;
если на , то .
Приближенное решение и погрешность приближения :
, .
Метод итерации.
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .
Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .
Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:
уравнение приводится к виду
,
где функция
удовлетворяет условиям:
,
дифференцируема на данном отрезке и
;строится итерационная последовательность вида
,
,
где
выбирается произвольно из данного
отрезка, например,
;полагая
приближенное значение корня
,
для погрешности получим
,
а так как по условию
,
то итерационный процесс продолжим до
выполнения условия
,
при этом приближенное значение корня
определяется как
.
Приближенное решение и погрешность приближения :
,
.
Метод хорд и касательных.
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .
Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .
Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:
если на , то
,
,
,
,
;
если на , то
,
,
,
,
.
Приближенное решение и погрешность приближения :
,
.
Приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений
Постановка
задачи. Найти приближенное
решение системы линейных алгебраических
уравнений
,
где
,
,
,
,
.
Если
,
то система имеет единственное решение.
Явный метод итерации. Представим данную систему в виде приведенной системы
,
где
,
,
,
,
,
;
.
Приближенное решение ищем по следующей итерационной схеме
,
или
,
,
.
Для
сходимости итерационной последовательности
необходимо выполнение следующего
условия:
.
Где
канонические нормы:
;
;
.
Итерационная последовательность продолжается до выполнения условия
,
,
.
Тогда за приближенное решение можно взять
,
.
Явный метод Зейделя. По данному методу приближенное решение ищется по следующей схеме
,
.
Определение сходимости и оценка погрешности производится так же, как и для метода итерации.