
- •Раздел 1. Введение. 6
- •Раздел 2. Тематика лабораторных работ 12
- •Раздел 3. Темы для вычислительного практикума 91
- •Численные методы Лабораторный практикум Учебное пособие. Книга 1
- •Раздел 1. Введение.
- •Темы лекционного курса
- •Темы спецкурсов.
- •Краткая теория к лабораторным и контрольным работам Приближенное решение нелинейного уравнения
- •Метод половинного деления.
- •Метод хорд.
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Метод итерации.
- •Метод хорд и касательных.
- •Приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений
- •Интерполирование функций полиномом.
- •Приближенное решение обратной задачи интерполирования
- •Приближенное дифференцирование
- •Численное интегрирование
- •Приближенное решение задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
- •Лабораторная работа № 1
- •Образец выполнения лабораторной работы № 1
- •Лабораторная работа № 2
- •Образец выполнения лабораторной работы № 2
- •Лабораторная работа № 3
- •Лабораторная работа № 4
- •Лабораторная работа № 5
- •Образцы выполнения заданий лабораторных работ №3-5
- •Лабораторная работа № 6
- •Образец выполнения лабораторной работы № 6
- •Лабораторная работа № 7
- •Образец выполнения лабораторной работы № 7
- •Лабораторная работа № 8
- •Образец выполнения лабораторной работы №8
- •Лабораторная работа № 9
- •Образец выполнения лабораторной работы №9
- •Лабораторная работа № 10
- •Образец выполнения лабораторной работы №10
- •Лабораторная работа № 11
- •Образец выполнения лабораторной работы №11
- •Лабораторная работа № 12
- •Образец выполнения лабораторной работы №12
- •Темы домашних контрольных работ
- •Задание к домашней контрольной работе №1
- •Элементы теории погрешностей.
- •Раздел 3. Темы для вычислительного практикума
- •Методы решения нелинейных уравнений.
- •Методы решения систем линейных уравнений.
- •Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (оду).
- •Методы решения краевых задач для оду.
- •Метод сеток для дифференциальных уравнений в частных производных.
- •Список литературы
- •452450, Республика Башкортостан, г. Бирск, Интернациональная 10.
Темы домашних контрольных работ
Контрольная работа №1
Тема: Элементы теории погрешностей.
Контрольная работа №2
Тема: Приближенное решение нелинейных уравнений.
Задание. Лабораторные работы № 3-5.
Контрольная работа №3
Тема: Интерполирование. Обратное интерполирование. Численное дифференцирование.
Задание. Лабораторные работы № 8-10.
Задание к домашней контрольной работе №1
Элементы теории погрешностей.
Задание из Таблицы №1:
а) Определить какое равенство точнее.
б) Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата.
в) Найти предельные абсолютную и относительную погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле.
Таблица № 1
№ |
а) |
б) |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
|
|
15 |
|
|
|
16 |
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
|
|
|
19 |
|
|
|
20 |
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
24 |
|
|
|
25 |
|
|
|
26 |
|
|
|
27 |
|
|
|
28 |
|
|
|
29 |
|
|
|
30 |
|
|
|
31 |
|
|
|
32 |
|
|
|
33 |
|
|
|
34 |
|
|
|
35 |
|
|
|
36 |
|
|
|
37 |
|
|
|
38 |
|
|
|
39 |
|
|
|
40 |
|
|
|
41 |
|
|
|
42 |
|
|
|
43 |
|
|
|
44 |
|
|
|
45 |
|
|
|
46 |
|
|
|
47 |
|
|
|
48 |
|
|
|
49 |
|
|
|
50 |
|
|
|
51 |
|
|
|
52 |
|
|
|
53 |
|
|
|
54 |
|
|
|
55 |
|
|
|
56 |
|
|
|
57 |
|
|
|
58 |
|
|
|
59 |
|
|
|
60 |
|
|
|
№ |
в) |
|
|
№ |
в) |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
31 |
|
|
2 |
|
|
|
32 |
|
|
3 |
|
|
|
33 |
|
|
4 |
|
|
|
34 |
|
|
5 |
|
|
|
35 |
|
|
6 |
|
|
|
36 |
|
|
7 |
|
|
|
37 |
|
|
8 |
|
|
|
38 |
|
|
9 |
|
|
|
39 |
|
|
10 |
|
|
|
40 |
|
|
11 |
|
|
|
41 |
|
|
12 |
|
|
|
42 |
|
|
13 |
|
|
|
43 |
|
|
14 |
|
|
|
44 |
|
|
15 |
|
|
|
45 |
|
|
16 |
|
|
|
46 |
|
|
17 |
|
|
|
47 |
|
|
18 |
|
|
|
48 |
|
|
19 |
|
|
|
49 |
|
|
20 |
|
|
|
50 |
|
|
21 |
|
|
|
51 |
|
|
22 |
|
|
|
52 |
|
|
23 |
|
|
|
53 |
|
|
24 |
|
|
|
54 |
|
|
25 |
|
|
|
55 |
|
|
26 |
|
|
|
56 |
|
|
27 |
|
|
|
57 |
|
|
28 |
|
|
|
58 |
|
|
29 |
|
|
|
59 |
|
|
30 |
|
|
|
60 |
|
|
Образец выполнения задания А1.
A1.
a) Какое равенство
точнее
.
Обозначим
,
;
,
.
Тогда
,
,
,
.
Так как
,
то равенство
определено точнее.
Ответ: Равенство определено точнее.
б) Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата.
Дано приближенное число
, где
.
Определим число верных знаков в узком смысле, используя следующее выражение
.
Так
как
,
и верно неравенство
,
то получим
,
.
Округлим
до трех верных знаков и получим
с погрешностью округления
.
При этом погрешность полученного
приближенного числа равен
.
Определим число верных знаков приближенного числа .
,
,
.
Округлим
до двух верных знаков и получим
с погрешностью округления
.
При этом погрешность полученного
приближенного числа
равна
.
Определим число верных знаков приближенного числа .
,
,
.
Так как
,
то приближенное число
имеет только верные знаки.
Определим
предельную относительную погрешность
приближенного числа
.
Для этого используем определение
предельной погрешности:
,
.
Тогда получим
.
Ответ:
,
.
Дано приближенное число
, где
. Определим число верных знаков в широком смысле, используя следующее выражение
.
Так как
,
и верно неравенство
,
то получим
,
.
Округлим
до трех верных знаков и получим
с погрешностью округления
.
При этом погрешность полученного
приближенного числа равна
.
Определим
число верных знаков приближенного числа
.
,
,
.
Округлим
до двух верных знаков и получим
с погрешностью округления
.
При этом погрешность полученного
приближенного числа
равна
.
Определим число верных знаков приближенного числа .
Из условия
,
получим
,
.
Так как
,
то приближенное число
имеет только верные знаки.
Определим
предельную относительную погрешность
приближенного числа
.
Для этого используем определение
предельной погрешности:
,
.
Тогда
получим
.
Ответ:
,
.
в) Найти предельные абсолютную и относительную погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле.
1) Дано приближенное число
.
Так как это число имеет только верные
цифры в узком смысле, то
.
Определим предельную абсолютную
погрешность числа из выражения
.
Тогда
.
Следовательно, для предельной абсолютной
погрешности имеем
.
Для определения предельной относительной
погрешности числа можно использовать
выражение
.
Так как
,
то
.
Ответ:
.
2) Дано приближенное число
.
Так как это число имеет только верные
цифры в широком смысле, то
.
Определим предельную абсолютную
погрешность числа из выражения
.
Тогда
.
Следовательно, для предельной абсолютной
погрешности имеем
.
Для определения предельной относительной
погрешности числа можно использовать
выражение
.
Тогда получим
.
Ответ:
.
Элементы теории погрешностей.
a) Вычислить и определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата.
b) Вычислить и определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата.
c) Вычислить и определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата пользуясь общей формулой погрешности: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле.
Задание из Таблицы 2 определяется по следующей схеме:
Если
,
то номер задания равен номеру варианта
(
),
а исходные данные из Кол.1;
Если
,
то номер задания равен (
),
а исходные данные из Кол.2;
Если
,
то номер задания равен (
),
а исходные данные из Кол.3;
Если
,
то номер задания равен (
),
а исходные данные из Кол.4.
Таблица 2
№ |
Формулы |
|
Кол. 1 |
Кол. 2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
№ |
Формулы |
|
Кол. 3 |
Кол. 4 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
Образец выполнения задания А2.
а) Вычислить и определить предельные
абсолютную и относительную погрешности
результата. Исходное выражение
,
где
,
,
,
.
По правилам вычисления погрешностей арифметических выражений и функций имеем
,
.
Для
определения предельной абсолютной
погрешности выражения используем
формулу
.
Тогда получим
,
.
Определим
число верных знаков в вычисленном
выражении в широком смысле, используя
предельную абсолютную погрешность
.
Тогда имеем
,
,
.
Округлим результат до верного знака
,
при этом погрешность округления равен
.
Тогда
.
Определим число верных знаков в
:
,
.
Следовательно, в
остались только верные знаки. Определим
предельную относительную погрешность
числа
:
.
Ответ:
.
b) Выполняется аналогично пункту а).
c) Вычислить и определить предельные абсолютную и относительную погрешности результата пользуясь общей формулой погрешности: 1) в узком смысле; 2) в широком смысле.
Исходное выражение
,
где
,
,
.
Тогда по общей формуле погрешностей имеем
;
,
,
.
.
.
Определим число
верных знаков в значении
.
,
.
Следовательно, необходимо округлить до верных знаков
.
.
Вычислим предельную относительную погрешность результата
.
Ответ:
.