Образец выполнения лабораторной работы №10
(Численное дифференцирование)
Постановка задачи. Функция задана
в равноотстоящих узлах своими значениями
в узлах
.
Найти приближенное значение первой и
второй производных функции при заданном
значении аргумента
,
где
|
1 |
1,71 |
2,42 |
3,13 |
3,84 |
4,55 |
5,26 |
|
0,778801 |
1,906915 |
3,19803 |
4,479744 |
5,645985 |
6,637627 |
7,42804 |
Так как функция дана в равноотстоящих
узлах и
находится в начале таблицы, то используем
первую интерполирующую формулу Ньютона.
Для этого найдем конечные разности
.
|
|
|
|
|
|
|
0,778801 |
1,128114 |
0,163001 |
-0,1724 |
0,06633 |
-0,01938 |
0,004936 |
1,906915 |
1,291115 |
-0,0094 |
-0,10607 |
0,046946 |
-0,01445 |
|
3,19803 |
1,281714 |
-0,11547 |
-0,05913 |
0,032498 |
|
|
4,479744 |
1,166241 |
-0,1746 |
-0,02663 |
|
|
|
5,645985 |
0,991641 |
-0,20123 |
|
|
|
|
6,637627 |
0,790414 |
|
|
|
|
|
7,42804 |
|
|
|
|
|
|
Используя полученные
конечные разности выпишем интерполирующий
полином Ньютона
.
Полагая
,
,
,
вводя обозначение
получим
,
|
1,714043 |
|
|
0,005325 |
|
0,377144 |
|
|
0,007478 |
Определим число верных знаков в широком смысле, тогда получим
,
,
тогда точные значения должны принадлежать отрезкам
,
.
Действительно, так как точные и соответствующие погрешности принимают значения
|
1,716019 |
|
|
0,001977 |
|
0,375379 |
|
|
0,001764 |
при этом
выполняются неравенства
,
.
Таким образом найденные значения производных отвечают точным значениям в пределах найденных погрешностей приближенных значений.
Замечание. Очевидно, что в случае когда значение находится ближе к концу таблицы значений функции необходимо применить вторую интерполирующую формулу Ньютона, в противном случае погрешность полученного приближенного значения производной будет большой