1. Теорія подібності

2. Гідродинамічна подібність

3. Метод аналізу розмірностей

1. Теорія подібності

Шлях вивчення природних явищ полягає у відтворенні їх у вигляді моделей: математичних або фізичних. Найбільш досконалим для дослідження є опис процесу у вигляді диференційних рівнянь, які доповнюються умовами однозначності (початковими і граничними умовами) з наступним їх інтегруванням. Прикладами такого підходу є отримання таких рівнянь як основне рівняння гідростатики, рівняння нерозривності потоку, рівняння Бернуллі.

Другий підхід проявляється тоді, коли математичний опис на диференційному рівні існує, але система рівнянь не може бути проінтегрована в силу ймовірносної природи самого явища. У такому випадку застосовується теорія подібності.

Третій шлях полягає у тому, що явище настільки складне, що ми не можемо скласти відповідний математичний опис у вигляді диференційних рівнянь. У такому випадку використовується метод аналізу розмірностей.

Фізичне моделювання є основою теорії подібності, яка дає нам можливість найбільш раціонально узагальнювати результати досліджень природних явищ.

Масштабування пов’язане з переносом результатів з лабораторних об’єктів на реальні об’єкти.

Першим етапом є геометричне масштабування і відповідно геометрична подібність лабораторної моделі і реального апарату.

- константа подібності

- інваріант подібності

Константи подібності характеризується рівним співвідношенням відповідних фізичних і геометричних параметрів у всіх точках для двох подібних процесів. Але при переході до нового подібного процесу константи будуть вже змінюватись.

Інваріанти подібності мають різні значення для різних точок одного чи іншого об’єкту, але вони будуть постійними при переході від одного об’єкту до іншого.

Інваріанти подібності, які складаються з різних за розмірностями величин, але в комбінації є безрозмірними називаються критеріями. Прикладом є відомий нам критерій Рейнольдса

Для отримання критеріїв з диференційних рівнянь будемо використовувати такий математичний прийом: відношення приросту відповідних величин можна замінити відношенням самих величин

Можна перевірити на числовому прикладі

Основні положення теорії подібності узагальнюються теоремами подібності. Існують три теореми подібності.

1. Теорема Ньютона: подібні явища характеризуються чисельно рівними критеріями подібності. Перша теорема показує, які величини нам потрібно вимірювати при дослідженні, а саме такі, що входять в критерії подібності.

2. Теорема Бекінгема: явище, яке описується диференційним рівнянням може бути описане відповідним рівнянням у формі зв’язку між критеріями подібності, причому критерії можна отримати шляхом ділення одних складових диференційного рівняння на другі.

Загальний вигляд критеріального рівняння

Всі критерії можна розділити на дві групи:

1. визначаючі;

2. визначувані.

Визначуючі визначаються з умов однозначності і відомі перед проведенням експерименту.

Визначувані розраховуються з відповідного критеріального рівняння

визначуваний критерій.

Друга теорема відповідає на питання, як обробляти результати експериментів: їх слід представляти функціональним зв’язком між критеріями.

3. Теорема Кірпічова-Гухмана: подібними є явища, які описуються однаковими диференційними рівняннями і для яких виконуються подібність умов однозначності, або для подібних явищ чисельно рівними є визначаючі критерії.