5 Взаимодействие электрических зарядов. Электрическое поле. Основные характеристики электрического поля

 

Основные понятия, законы и соотношения

Электрический заряд. Закон Кулона. Электрическое поле. Напря­женность Е электрического поля (определение). Формула напряженности поля точечного заряда. Принцип суперпозиции полей. Однородное поле.

Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциал .

Потенциал поля точечного заряда.

Теорема о циркуляции вектора Е. Связь между Е и   .

[1] т.2 §§ 1-4, 8, 9; [2] §§ 77-80, 83-86.

Основная задача электростатики заключается в расчете электриче­ского поля, созданного произвольным распределением зарядов. Рассчитать электростатическое поле - это значит в каждой его точке определить вектор напряженности  Е  или потенциал .

Основной универсальный метод расчета электростатического поля в вакууме базируется на применении принципа суперпозиции.

В том случае, если поле создано системой  точечных зарядов , сна­чала определяют напряженность E_i (или потенциал ), которую создает в рассматриваемой точке каждый из зарядов в отдельности. На рисунке следу­ет показать расположение зарядов и направление векторов E_i в указанной точке. Затем по принципу суперпозиции находят результирующее поле, т.е. вектор E  как геометрическую сумму векторов:  

                                     E = E₁ + E₂ + E₃ + …,                              (5.1)

а потенциал результирующего поля  как алгебраическую сумму:

                                                                           (5.2)

В общем случае, когда поле создано произвольным распределением зарядов, необходимо в первую очередь, разделить весь заряд на столь малые элементы, чтобы их можно было бы считать точечными. Если заряд распре­делен на нити, то эту нить следует разделить на бесконечно малые отрезки длиной . Заряд такого элемента равен  ( - линейная плотность заряда). Напряженность dE поля этого точечного заряда определяется по известной формуле. Поскольку направление векторов dE от элементов нити различны, постольку необходимо выбрать координатные оси (две или три), найти проекции вектора dE на эти оси и затем по принципу суперпозиции интегрированием найти проекции, например, Е_х, Е_у, E_z вектора напряженно­сти результирующего поля в интересующей нас точке.

Подобным образом поверхность, по которой непрерывно распределен заряд, следует разделить на малые элементы площадью , заряд которых  можно рассматривать как точечный. Определив по известной фор­муле напряженность поля dE, создаваемого выделенным элементом, затем по принципу суперпозиции находят результирующее поле.

Пример 9.

Положительный заряд  равномерно распределен по тон­кому проволочному кольцу радиуса  (рисунок 2). Определить напряжен­ность E  поля в точке , лежащей на оси кольца на расстоянии  от его центра 0.        

Р ешение:

Разделим кольцо на элементарные (т.е. очень малые) участки dℓ так, чтобы заряд dq каждого такого участка можно было считать точечным. Тогда модуль напряженности dE  поля, создаваемого выделенным (рисунок 2) точечным зарядом в точке ,  равен:

.      (5.3)

 

 

Рисунок 2 

Найдем проекцию вектора   dE  на ось 0Z:

.    (5.4)

В соответствии с принципом суперпозиции сложим проекции dE_z полей, создаваемых в искомой точке всеми участками заряженного кольца. Предел этой суммы - это криволинейный (контурный) интеграл:

,                                (5.5)

где интегрирование производится вдоль контура кольца.

Из соображений симметрии (при равномерном распределении заряда по кольцу) следует, что в точке , лежащей на оси кольца, напряженность поля направлена вдоль этой оси. Следовательно, ее остальные проекции равны нулю   E_y = E_x = 0, а модуль равен:

                                     .                                  (5.6)