4 Основы молекулярно-кинетической теории строения вещества. Статистические распределения. Законы термодинамики.

 

Основные понятия, законы, соотношения

Уравнение состояния идеального газа. Изопроцессы.

Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа. Работа газа. Первое начало термодинамики. Второе начало термодинамики.

Молекулярно-кинетическая теория. Давление газа на стенку сосуда.

Средняя энергия поступательного движения молекул. Среднеквадра­тичная скорость молекул. Число степеней свободы молекул и теплоемкость газа.

Функция распределения Максвелла молекул газа по скоростям. Сред­няя арифметическая и наиболее вероятная скорости молекул.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

[1] §§61-68, 71-76; [2] §§ 41-45, 50-53, 58, 59.

Основная задача термодинамики равновесных процессов заключается в нахождении всех макросостояний физической системы. Если известны на­чальное и все промежуточные состояния системы, то можно определить из­менение внутренней энергии, найти работу, совершенную системой, рассчи­тать количество теплоты, полученное (или отданное) системой и т.д.

Метод решения типовых задач термодинамики основан на применении уравнения состояния (например, идеального газа), первого и второго законов термодинамики, соотношений для теплоемкостей, которые дает классическая теория. Но, прежде всего, приступая к решению задачи, необходимо выяснить характер процесса, протекающего в газе (если об этом не оговорено в усло­вии).

Пример 6.

Баллон емкостью  с известным газом, находящимся при давлении  и температуре , нагревают до . Какое количество теплоты при этом поглощает газ?

Решение. Объем  баллона постоянный, поэтому процесс нагревания газа является изохорным. Применим первое начало термодинамики к изо-хорному процессу:

                                     .                                                     (4.1)

Внутренняя энергия идеального газа равна:

                                      ,                        (4.2)

здесь  мы использовали уравнение Менделеева-Клапейрона и выражение для молярной теплоемкости  идеального газа (согласно классической теории теплоемкости) при постоянном объеме.

Таким образом, искомое  количество теплоты равно:

                                      ,   (4.3)

так как по закону Шарля для изохорного процесса

                                      .

Окончательно:              .                                            (4.4) Основные задачи, решаемые статистическим методом - это задачи:

а) нахождения средних и наиболее вероятных значений различных физических величин;

б) определение среднего числа частиц  или доли  от общего их числа, обладающих некоторым свойством.

Статистический метод решения указанных задач основан на приме­нении математических понятий и законов теории вероятности и известных функций распределения.

Пример 7.

Какая часть от общего числа молекул азота, находящегося при температуре  и атмосферном давлении, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более, чем на 2,0 м/с?

Решение. При атмосферном давлении и температуре 300 К азот можно считать идеальным газом. В отсутствие внешних сил молекулы идеального газа подчиняются закону распределения Максвелла. Согласно закону Мак­свелла число молекул , относительные скорости которых лежат в интервале от  до  при условии, что , равно:

                                      .                             (4.5)

Относительная скорость   в нашем случае равна и=1, поэтому

                                      .                                           (4.6)

Вычислим наиболее вероятную скорость v_в

                                      ;

                                      .

Таким образом, условие  выполняется. Следовательно:

                                      .

Итак, молекулы азота, обладающие при  скоростями, которые лежат в интервале от (v_в – 2,0) м/с  до  (v_в + 2,0) м/с, составляют от общего числа долю, равную

∆N/N =0,84%.

Пример 8.

Найти среднюю потенциальную энергию молекул воздуха в поле тяготения Земли. Температуру воздуха считать постоянной и равной 300 К.

Решение.

Газ (воздух) находится в поле тяготения Земли. Следова­тельно, его молекулы распределены по энергиям согласно функции распре­деления Больцмана:

                                     ,

где  – потенциальная энергия молекулы в поле силы тяжести;

 – концентрация молекул (или других взвешенных в  среде частиц) в той области пространства, где их потенциальная энергия имеет значение ;

  – концентрация молекул на нулевом уровне потенциальной энергии, в нашем примере – у поверхности Земли.

Среднее значение потенциальной энергии молекулы определяется по формуле:

         .                            (4.7)

Поскольку  известные табличные интегралы равны соответственно:

         ,       ,

то получим следующий результат:   .

Численный ответ: .