1.5.4. Теплопередача через плоскую многослойную стенку
Даны: температуры горячей и холодной сред, толщины, коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи (Рис.1.8).
Найти: поле температур и тепловой поток через многослойную стенку.
Рис. 1.8 Теплопередача через плоскую многослойную стенку
Сразу запишем коэффициент теплопередачи
.
Тогда
тепловой поток
,
(1.24)
где
– температурный напор, ˚С; F – поверхность
нагрева, т.е. та поверхность, которую
пронизывает тепловой поток, м2.
Последнее
выражение называется «основное уравнение
теплопередачи».
Температуры на поверхностях найдем из выражения теплового потока при конвекции
;
и
местах контакта через закон Фурье 
;
и т. д.
Замечание.1.
Уравнение (1.21) для случая чистой
теплопроводности получаются из (1.24) как
частные случаи при
.
При
ГУ II рода. 
,
и
,
решением уравнения (2.15) будет
;
,
а
– любое, т.е. любая прямая удовлетворяет
q.
Для нахождения единственного решения, нужно задать дополнительное условие, например температуру на поверхности.
1.5.5. Теплопроводность цилиндрической стенки
Пусть заданы ГУ I рода, т. е. и = const, требуется найти t(r) и q, (рис.1.9).
Положим
,
,
, 
.
Рис.1.9. Теплопроводность цилиндрической стенки
Здесь нужно брать дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат (см. уравнение (1.10) при факторе геометрической формы k=2 для цилиндра).
Математическая постановка задачи имеет вид
Дифференциальное
уравнение
Граничные условия:
Уравнение теплопроводности решаем путем введения подстановки: u=dt/dr.
.
Разделяем переменные и интегрируем
.
После потенцирования получим
.
Вспоминаем,
что u=dt/dr,
разделяем переменные
.
Интегрируем
и получаем общее решение
.
(1.31)
После определения С1 и С2 с помощью граничных условий, получим
и
Окончательно
. (1.26)
Здесь температура вдоль стенки изменяется по логарифмическому закону.
Удельный тепловой поток найдем с помощью закона Фурье:
,
где
,
(1.28)
Здесь,
в отличие от плоской стенки, тепловой
поток зависит от радиуса
,
, где
боковая поверхность цилиндра
.
Тогда
,
где
и
.
Опять
неудобно, нужно сделать чтобы было
.
Введем понятие линейной плотности
теплового потока
,
Вт/м. (1.27)
В знаменателе стоит термическое сопротивление цилиндрической стенки, мК/Вт.
Термические
напряжения в цилиндрической стенке
определяются по уравнениям (1.11) и (1.12) в
которых использование формулы (1.13) для
нахождения средней температуры может
привести к значительным погрешностям.
Более точно среднемассовая температура
полого цилиндра внутренним радиусом
и наружным
может быть найдена по следующей формуле:
,
(1.28)
где
- объем цилиндра радиусом r
и высотой H;
;
- плотность материала
стенки,
; произведение
- масса, кг.
Подставляя
в уравнение (1.28) решение (1.31) для поля
температур в виде
и производя интегрирование, получим
для средней по массе температуре
цилиндрической стенки
.
(1.29)
При
малых перепадах температур
для приближенных расчетов при определении
можно использовать уравнение (1.13).