
- •Конспект лекцій
- •Затверджено
- •Содержание
- •Введение
- •1. Основные понятия теплопередачи и термоупругости. Стационарная теплопроводность
- •Основные виды теплообмена.
- •1. Теплопроводность
- •1.1 Температурное поле
- •1.3. Основной закон теплопроводности.
- •1.4. Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •1.4.1. Анализ дифференциального уравнения теплопроводности
- •1.4.2. Краевые условия.
- •Расчет термических напряжений
- •1.5.2. Теплопроводность плоской многослойной стенки.
- •1.5.3. Теплопередача через плоскую однослойную стенку
- •1.5.4. Теплопередача через плоскую многослойную стенку
- •1.5.5. Теплопроводность цилиндрической стенки
- •1.5.6 Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки
- •1.5.7 Теплопередача через цилиндрическую однослойную стенку
- •1.5.8. Теплопередача через многослойную цилиндрическую стенку
- •1.5.9. Критический диаметр тепловой изоляции
- •1.5.11. Теплопередача через стенки неправильной формы
- •Нестационарная теплопроводность. Расчет температурных полей
- •2.1 Физическая постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •3. Решение задачи
- •Количество тепла, пошедшего на нагрев, можно найти по формуле
- •Анализ полученного решения
- •3.1 Влияние времени
- •3. 1. 1 Регулярный режим нагрева
- •3.1.2. Иррегулярный режим нагрева.
- •3.2. Влияние числа Био
- •3.2.1 Нагрев термически тонких тел.
- •3.2.2 Нагрев термически массивных тел
- •4 Расчет термических напряжений при конвектированном нагреве тел
- •4.1. Аналитический расчет термических напряжений при конвективном нагреве плоских тел
- •Анализ полученных решений
- •4.1.1. Асимптотика при малых числах Био
- •4.1.2. Асимптотика при больших числах Био
- •Рассмотрим численный пример, взятый из [7].
- •4.2. Аналитический расчет термических напряжений при конвективном нагреве цилиндрических тел
- •Анализ полученных решений
- •4.2.1. Расчет при малых числах Био
- •4.2.2. Расчет при больших числах Био
- •4.3. Аналитический расчет термических напряжений при конвективном нагреве шаровых тел
- •4.3.1. Расчет при малых числах Био
- •4.3.2. Расчет при больших числах Био
- •4.4 Объединенное решение
- •Анализ полученных решений.
- •4.5. Нагрев тел конечных размеров
4.3.2. Расчет при больших числах Био
Теперь корни находим по уравнению (4.122). Тогда отношение
(4.138)
где
;
;
;
;
;
;
.
В предельном
случае, при
отношение
.
Разность квадратов корней
(4.139)
Амплитуды:
;
,
где
;
.
;
,
где
и
— амплитуды при
.
;
,где
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
; ; ; .
Теперь коэффициенты для расчета максимальных времен примут вид:
;
(4.140)
(4.141)
;
(4.142)
В предельном случае при :
;
;
(4.143)
Так как лишено физического смысла, следует взять .
Тогда наименьшие
максимальные времена согласно (4.115) при
будут:
,
и
.
(4.144)
Подставляя (4.144) в уравнение (4.120), получим максимально возможное термическое напряжение в центре шара
.
(4.145)
Величины , вычисленные по уравнению (4.143), времена согласно (4.144) и максимальные термические напряжения приведены в табл. 4.2.
Термонапряжение на поверхности при времени
и отношение напряжений в этот момент времени
.
Последняя несколько больше, чем отношение
,
которое получено для стадии РРН с учетом
одного первого члена ряда.
Следует отметить, что если приближенно считать , то из уравнения (4.126) будем иметь
,
(4.146)
где .
Это соотношение при и 2 полностью совпадает с формулами Н.Ю. Тайца [7] для максимальных термических напряжений
, (4.147)
где t = tn - tц().
Из анализа уравнения
(4.140) вытекает, что коэффициент
меняет знак по причине изменения знака
амплитуды
,
изменяющейся от
при малых числах Био до
.
Из условия равенства нулю
можно получить граничное число
выше которого имеем случаи нагрева
термически «массивного» тела. Таким
образом, при числах
для определения времени
можно применять формулу (4.139) в которой
определяется по уравнению (4.140), а при
коэффициент
становится отрицательным и нельзя
пользоваться формулой (4.13). Возникшую
ситуацию можно объяснить следующим
образом. Формулы (4.13)…(4.22) получены с
учетом всего двух членов ряда. С ростом
числа Био максимальное время
уменьшается, вплоть до 0 при
.
При
очень малых числах Фурье
расчёт
температур по уравнениям (4.2)…(4.11)
затруднителен из-за необходимости учета
большого количества членов ряда, ввиду
его плохой сходимости. В этом случае
для расчёта поверхностной температуры
можно использовать формулы, полученные
методом операционного исчисления в
работе 20.
Объединяя эти формулы в одно уравнение
для простых тел, будем иметь:
, (4.148)
где ; ;
– модифицированное время, число Тихонова;
; — дополнительный интеграл вероятностей;
— функция ошибок
Гаусса;
;
— фактор формы, см. уравнение (4.140).
Зная температуру поверхности и используя методику [2], можно найти среднемассовую температуру
(4.149)
где .
При числах для шара или для цилиндра коэффициент и в расчетных соотношениях (4.148) и (4.149) следует раскрывать неопределенность типа . Используя разложение функции при малых аргументах, из уравнения (4.148) получим для температуры на поверхности:
(4.150)
и для среднемассовой из (4.169)
,
(4.151)
где и для шара и и для длинного цилиндра.
Таким образом, при малых временах процесса ( ) вместо уравнения (4.6) будет (4.14), вместо (4.8) — (4.14), а температуру в центре тела на начальной стадии нагрева приближенно можно принять .
С учетом сказанного уравнение (4.3) для расчета термических напряжений на поверхности примет вид
.
(4.152)
При , после раскрытия неопределенности, получим:
.
(4.153)
Дифференцируя уравнение (4.15) по времени и приравнивая производную нулю, можно получить формулу, аналогично (4.10), для расчета времени наступления максимального термического напряжения на поверхности. Ввиду сложности (4.152) и необходимости в дальнейшем решать трансцендентные уравнения, покажем ход расчета на более простом уравнении (4.153). Из соотношения получим квадратное уравнение, решение которого имеет вид:
,
(4.154)
где
;
;
.
Расчет для шара
при
и
=1
дает
,
что хорошо согласуется с ранее полученной
по (4.10) величиной 0,070318 (см. табл. 4.2).
Иногда требуется
определить расположение координаты
нейтрального слоя в котором термические
напряжения меняют знак с
на
,
т.е. в этой точке равны нулю. Наиболее
просто это можно сделать в стадии РРН.
Тогда согласно уравнению (4.2)
или
. Разрешая последнее выражение
относительно
,
получим
,
(4.155)
где
.
При малых числах
Био
.
Тогда будем иметь
.
(4.156)
При больших числах
Био
и
.
(4.157)
Таким образом, поскольку нейтральные слои расположены ближе к поверхности, а само колеблется в узких пределах от 0,77 до 0,78.
Следует отметить, что при нагреве абсолютные, т.е. размерные термические напряжения поменяют знаки за счет отрицательности из-за .
В заключение укажем, что все полученные решения описывают как процесс конвективного нагрева шаровых тел, так и их охлаждение.
Если расчеты покажут, что максимальные напряжения окажутся больше допустимых, т.е.
max доп, (4.158)
то следует изменить режим или условия нагрева во избежание появления трещин, снижения качества заготовки и т.д.
Графическая иллюстрация безразмерных температурных полей и термических напряжений в максимальные времена их наступления в зависимости от числа Био представлены на рис. 4.1 … 4.6.
Рис. 4.1.- Динамика изменения безразмерной температуры в центре, среднемассовой, на поверхности и их разности во времени
Рис. 4.2. Зависимость
максимальных значений Fomax
,
,
,
,
от числа Био
Рис. 4.3. Зависимость времени нагрева тела до заданных температур поверхности, среднемассовой и центра от числа Био
Рис.
4.4. Зависимость безразмерных термических
напряжений на поверхности (
),
в центре (
)
и температурной разности (
)
Рис. 4.5. Зависимость
максимальных
термических
напряжений
на
поверхности (
)
и в центре
(
)
Рис. 4.6. Зависимость времени наступления максимальных напряжений
Fom.ц , Fomax , Fom.n от числа Био для пластины