4.3.1. Расчет при малых числах Био

Первый корень уравнения (4.108) вычисляем по соотношению (4.120) при и , а второй по (4.141). Тогда отношение собственных чисел

, (4.125)

где ; ; .

Здесь и далее, для оценки погрешности получаемых приближенных решений, имеет смысл привести величины при числе , когда точные значения корней: . Расчет по уравнению (4.120) при первого корня дает с погрешностью по сравнению с точным .

Отношение корней  , а расчет по (4.125) с .

Разность квадратов корней . При этом .

Первая амплитуда, входящая в уравнение (4.6) температуры поверхности

. (4.126)

По аналогии вторая и любая

, (4.127)

где — n-ый коэффициент термической массивности.

При и .

Интересно отметить, что в отличие от других амплитуд зависимость от числа Био носит немонотонный характер, возрастает от нуля до максимального значения при числе , а затем уменьшается до нуля, оставаясь меньше .

Введем отношение поверхностных амплитуд

(4.128)

При числе , а при .

Амплитуда согласно уравнению (4.144) и с учетом того, что при малых аргументах :

, (4.129)

где .

Вторая амплитуда

. (4.130)

Значения при  :  ; .

Для среднемассовой температуры:

и . (4.131)

При : и .

Для перепада температур по уравнению (4.11)

, (4.132)

.

При : и .

Для термических напряжений в центре шара по (4.4)

;

. (4.133)

При числе  :

и .

Для термонапряжений на поверхности

,

. (4.134)

При : и .

С целью проверки амплитуды можно использовать равенство .

Выражения для расчета максимальных времен по уравнению (4.115) также упростятся.

Коэффициент поверхности

,

для перепада температур

(4.135)

где отношение и центра

.

При числах коэффициенты:

; ; .

Результаты расчетов при максимальных времен по формуле (4.115) и соответствующих этим временам максимальных термических напряжений на поверхности по уравнению (4.113), по (4.112) и термонапряжений в центре шара по (4.114) приведены в табл. 4.2. Там же представлены данные при .

Таблица 4.2. Коэффициенты , максимальные времена , , и при и для шаровых тел

j		Число Био
1	0,249570		0,070318	0,13075	1		0	1
2	0,099922		0,117057	–0,30809	¼		0,04682	–0,9449
3	0,073222		0,132440	–0,18445	0,16172		0,16172	–0,5688

Анализ уравнений (4.115) и (4.135) позволяет сделать вывод о том, что максимум величин наступает в последовательности и с ростом числа Био эти времена уменьшаются.

Для оценки различия максимальных времен составим их разности:

; ;

и . (4.156)

Из (4.115) и табл. 4.2 следует, что с ростом числа Био различия максимальных времен увеличиваются, вплоть до – см. уравнение (4.154).

На практике технологов интересует вопрос — насколько термические напряжения на поверхности тела больше, чем в его середине. Обозначим их отношение . Наиболее просто можно найти в стадии регулярного режима нагрева (РРН), который наступает при числах Фурье и когда вместо бесконечных сумм в уравнениях (4.1)…(4.11) можно ограничиться одним членом ряда. Тогда, деля уравнение (4.3) на (4.3) и учитывая упрощенные соотношения (4.13) и (4.134), получим

(4.137)

При числе  :  .

А при  : .

Таким образом, в отличие от процесса нагрева плоских тел, когда при , термические напряжения на поверхности тела в 2 раза больше термонапряжений в центре, при нагреве шаровых тел уже напряжения в центральных точках тела в 1,5 раза больше, чем на поверхности.