4.3. Аналитический расчет термических напряжений при конвективном нагреве шаровых тел

Без знания температурных полей и термических напряжений внутри массивного тела невозможно назна­чить рациональные энерго- и материалосберегающие тепловые и температур­ные режимы печей или других агрегатов, связанных с тепловой обработкой ма­териалов, например, сушильных установок, химических реакторов и т. п. При значительных скоростях нагрева в шаре могут возникать термиче­ские напряжения, превышающие допустимые для данного материала, приводящие в некоторых случаях даже к разрушению тела.

В разделе 4.1 приведены аналитические решения для расчета относительных термических напряжений в любой точке неограниченной пластины при ее конвективном нагреве в печи с постоянной температурой греющей среды t_c – см. уравнения (4.1) … (4.55)

Из анализа этих уравнений следует, что динамика изменения напряжений во времени аналогична изменению температурной разности, т.е. резко возрастают, достигая максимального значения при числах Фурье Fo_max­=0,05…0,50, а затем постепенно падают, т.е. носят колоколообразный характер.

На практике иногда важнее знать не всю динамику изменений напряжений во времени, а только их максимально возможные характерные величины. Целью данного раздела является аналитическое определение указанных величин для шаровых тел.

Задачу определения термических напряжений в шаре будем решать в предположении такой же их зависимости от температур на поверхности, в центре и среднемассовой как для плоских тел.

Для шаровых тел будут справедливы уравнения (4.2)...(4.8), (4.0), (4.1) для пластины с заменой координатной функции , входящей в уравнение (4.5)

,тепловых амплитуд для уравнения (4.6), — для (4.7) и — для (4.8). Теперь вместо (4.9) определяется из характеристического уравнения:

, (4.108)

где .

Дифференцируя уравнения (4.3), (4.4) и (4.10) по времени, приравнивая производную нулю и используя два члена суммы ряда, получим формулы для расчёта максимальных времен Фурье:

•для максимального термического напряжения на поверхности

, (4.109)

•перепада температур

(4.110)

•термонапряжения в центре

, (4.111)

где ; ; ; ; .

Здесь и далее под понимается амплитуда .

Подставляя Fо_mах из (4.110) в уравнение (4.111), получим максимальный перепад температур с учётом двух членов ряда:

(4.112)

При выводе (4.112) было учтено, что согласно уравнению (4.110) .

По аналогии подставляя в уравнение (4.3), получим максимальное термическое напряжение на поверхности

(4.113)

и после подстановки (4.31) в (4.120) — максимальное напряжение в центре шара

. (4.114)

Анализ полученных решений

Формулы (4.109)…(4.111) однотипны и могут быть описаны одним уравнением

. (4.115)

При имеем расчет напряжений на поверхности и в центре, а при — перепада температур. После определения максимальных времен можно найти соответствующие температуры при этих числах Фурье с учетом двух членов ряда.

Подставляя в уравнение (4.6), получим температуру поверхности

, (4.116)

в (4.7) — температуру центра

, (4.117)

в соотношение (4.8) среднемассовую

, (4.118)

и в (4.11) перепад температур

. (4.119)

Наибольшую и основную трудность при практических расчётах по уравнениям (4.108)…(4.119) представляет определение по соотношению (4.108) бесчисленного множества корней. В работе [6] приведена общая приближенная формула расчета первого корня для тел простой формы

, (4.120)

где ;

—коэффициент термической массивности;

; ;

 — коэффициент геометрической формы, равный 1 _­ – для пластины, 2 _­ – цилиндра и 3 _­ – шара. При малых  число .

Для определения приближенных значений остальных корней следует различать два характерных случая нагрева при больших и малых числах Био [5].

При малых числах Био (Bi < 3)

, (4.121)

где ; ; ; ;

При больших числах Био ( )

, (4.122)

где ; ; — см. уравнение (4.120); ; .

В двух предельных случаях малых и больших числах Био, полученные решения значительно упрощаются. Предварительно упростим расчет тепловой амплитуды . Используя тригонометрическое тождество и характеристическое уравнение (4.108), можно записать

. (4.143)

С учетом последнего выражения тепловая амплитуда, входящая в уравнение (4.7) определения температуры центра шара, станет

. (4.124)

Теперь получим упрощенные выражения для других амплитуд в двух предельных случаях.