4.2.2. Расчет при больших числах Био
Теперь корни
,
в том числе и первый, находим по уравнению
(4.73). Тогда отношение
.
(4.88)
В данном случае
отношение корней совпадает с максимально
возможным, которое получается в предельном
случае при
:
.
Разность квадратов корней
.
(4.89)
Амплитуды:
;
,
где
.
В работе [2]
было получено, что тепловая амплитуда
при больших числах Био для плоских тел
пропорциональна
.
Предполагая такую же зависимость для
любых тел, получим
; (4.90)
,
где
и
— амплитуды при
.
Осуществляя в уравнении (4.79) предельный
переход при
,
т.е. полагая в нем
и
,
будем иметь
;
.
Расчет амплитуды
по уравнению (4.90) при
дает
с погрешностью 0,3% по сравнению с точным
значением
[20].
Амплитуды:
;
,
где
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
Теперь коэффициенты для расчета максимальных времен примут вид:
;
(4.91)
;
(4.92)
.
(4.93)
В предельном случае при :
;
;
(4.94)
Так как лишено физического смысла, следует взять .
Тогда наименьшие
максимальные времена согласно (4.66) при
будут:
,
и
.
(4.95)
Подставляя (4.95) в уравнение (4.3), получим максимально возможное термическое напряжение в центре цилиндра
.
(4.96)
Величины
,
вычисленные по уравнению (4.94), времена
согласно (4.95) и максимальные термические
напряжения
приведены в табл.4.1.
Отношение термонапряжений при
.
Следует отметить,
что если приближенно считать
,
то из уравнения (4.10) будем иметь
,
(4.97)
где
.
Это соотношение при и 2 полностью совпадает с формулами Н.Ю. Тайца [7] для максимальных термических напряжений
.
(4.98)
Из анализа уравнения
(4.91) вытекает, что коэффициент
меняет знак по причине изменения знака
амплитуды
,
изменяющейся от
при малых числах Био до
.
Из условия равенства нулю
можно получить граничное число
выше которого имеем случаи нагрева
термически «массивного» тела. Таким
образом, при числах
для определения времени
можно применять формулу (4.66) в которой
определяется по уравнению (4.91), а при
коэффициент
становится отрицательным и нельзя
пользоваться формулой (4.66). Возникшую
ситуацию можно объяснить следующим
образом. Формулы (4.60)…(4.66) получены с
учетом всего двух членов ряда. С ростом
числа Био максимальное время
уменьшается, вплоть до 0 при
.
При очень малых числах Фурье (Fo<0,1) расчёт температур по уравнениям (4.2)…(4.11) затруднителен из-за необходимости учета большого количества членов ряда, ввиду его плохой сходимости. В этом случае для расчёта поверхностной температуры можно использовать формулы, полученные методом операционного исчисления в работе 20. Объединяя эти формулы в одно уравнение для простых тел, будем иметь:
,
(4.99)
где
;
;
– модифицированное
время, число Тихонова;
;
— дополнительный интеграл вероятностей;
— функция ошибок
Гаусса;
;
— фактор формы, см. уравнение (4.71).
Зная температуру поверхности и используя методику [2], можно найти среднемассовую температуру
(4.100)
где
.
При числах
для шара или
для цилиндра коэффициент
и в расчетных соотношениях (4.109) и (4.100)
следует раскрывать неопределенность
типа
.
Используя разложение функции
при малых аргументах, из уравнения
(4.109) получим для температуры на
поверхности:
(4.101)
и для среднемассовой из (4.100)
,
(4.112)
где
и
для шара и
и
— для длинного цилиндра.
Таким образом, при
малых временах процесса (
)
вместо уравнения (4.60) будет (4.109), вместо
(4.62)…(4.100), а температуру в центре тела
на начальной стадии нагрева приближенно
можно принять
.
С учетом сказанного уравнение (4.57) для расчета термических напряжений на поверхности примет вид
.
(4.103)
При , после раскрытия неопределенности с помощью (4.56), получим
.
(4.104)
Дифференцируя
уравнение (4.103) по времени и приравнивая
производную нулю с учетом разложений
можно получить формулу, аналогично
(4.70), для расчета времени наступления
максимального термического напряжения
на поверхности. Ввиду сложности (4.103) и
необходимости в дальнейшем решать
трансцендентные уравнения, покажем ход
расчета на более простом уравнении
(4.104). Из соотношения
получим
квадратное уравнение, решение которого
имеет вид:
,
(4.105)
где
;
;
.
Расчет для цилиндра
при
и
=1/2
дает
,
что хорошо согласуется с ранее полученной
при
по (4.70) величиной 0,1076 (см. табл. 4.1).
Иногда требуется
определить расположение координаты
нейтрального слоя в котором термические
напряжения меняют знак с
на
,
т.е. в этой точке равны нулю. Наиболее
просто это можно сделать в стадии РРН.
Тогда согласно уравнению (4.2)
или
.
Разрешая последнее выражение относительно
,
с помощью разложения функции
— см. уравнение (4.78), получим при малых
числах Био
.
(4.106)
и при больших числах Био
.
(4.107)
Таким образом, поскольку нейтральные слои расположены ближе к поверхности, а само колеблется в узких пределах — от 0,63 до 0,71.
Следует отметить,
что при нагреве абсолютные, т.е. размерные
термические напряжения
поменяют знаки за счет отрицательности
из-за
.
В заключение укажем, что все полученные решения описывают как процесс конвективного нагрева цилиндрических тел, так и их охлаждение.