Анализ полученных решений

Формулы (4.70)…(4.72) однотипны и могут быть описаны одним уравнением

. (4.66)

При имеем расчет напряжений на поверхности и в центре, а при — перепада температур. После определения максимальных времен можно найти соответствующие температуры при этих числах Фурье с учетом двух членов ряда.

Подставляя в уравнение (4.6), получим температуру поверхности

, (4.67)

в (4.7) — температуру центра

, (4.68)

в соотношение (4.8) — среднемассовую

, (4.69)

и в (4.11) перепад температур

. (4.70)

Наибольшую и основную трудность при практических расчётах по уравнениям (4.56)…(4.70) представляет определение по соотношению (4.59) бесчисленного множества корней. В работе [6] приведена общая приближенная формула расчета первого корня для тел простой формы

, (4.71)

где ; -коэффициент термической массивности;

; ;  — коэффициент геометрической формы, равный 1 _­ – для пластины, 2 _­ – цилиндра и 3 _­ – шара. При малых  число .

Для определения приближенных значений остальных корней следует различать два характерных случая нагрева – при больших и малых числах Био [4].

При малых числах Био (Bi < 3)

, (4.72)

где — корни уравнения (4.59) при , т.е. нули функции : ; ; и т.д. [4].

При больших числах Био ( )

, (4.73)

где ;

— корни уравнения (4.59) при , т.е. нули функции :

; и т.д.

Следует отметить, что при числах Био первый корень следует вычислять не по уравнению (4.71), а по (4.73).

Получим упрощенные расчетные соотношения в двух предельных случаях.

4.2.1. Расчет при малых числах Био

Первый корень уравнения (4.59) вычисляем по соотношению (4.71) при и , а второй — по (4.72). Тогда отношение собственных чисел

. (4.74)

Разность квадратов корней .

Первая амплитуда, входящая в уравнение (4.50) температуры поверхности

. (4.75)

По аналогии вторая и любая

, (4.76)

где — n-ый коэффициент термической массивности.

Интересно отметить, что в отличие от других амплитуд зависимость от числа Био носит немонотонный характер, возрастает от нуля до максимального значения при числе , а затем уменьшается до нуля, оставаясь меньше .

Введем отношение поверхностных амплитуд

, (4.77)

где .

При определении тепловой амплитуды А воспользуемся разложением функции Бесселя при малых аргументах , где . Тогда

, (4.78)

где .

Согласно [20] амплитуда может быть записана как:

, (4.79)

где ; при больших аргументах .

, (4.80)

где .

Для среднемассовой температуры:

и . (4.81)

Для перепада температур по уравнению (4.11)

, (4.82)

.

Для термических напряжений в центре цилиндра по (4.3)

. (4.83)

.

Для термонапряжений на поверхности по (4.4)

, (4.84)

.

С целью проверки амплитуды можно использовать равенство .

Выражения для расчета максимальных времен по уравнению (4.66) также упростятся.

Коэффициент поверхности

,

для перепада температур

(4.85)

и центра

Результаты расчетов при максимальных времен по формуле (4.66) и соответствующих этим временам максимальных термических напряжений на поверхности по уравнению (4.3), по (4.11) и термонапряжений в центре цилиндра по (4.4) приведены в табл. 4.1. Там же представлены данные при .

Таблица 4.1. Коэффициенты b_j, максимальные времена Fo_j, , и при и

j		Число Био
1	0,197687		0,107603	0,159055	1		0	1
2	0,101219		0,152036	–0,306981	0,28556		0,05074	–0,96792
3	0,069518		0,176974	–0,152570	0,14446		0,07837	–0,46734

Анализ уравнений (4.66) и (4.85) позволяет сделать вывод о том, что максимум величин наступает в последовательности и с ростом числа Био эти времена уменьшаются.

Для оценки различия максимальных времен при составим их разности:

;

и . (4.86)

Из (4.86) и табл. 4.1 следует, что с ростом числа Био различия максимальных времен увеличиваются, вплоть до – см. уравнение (4.105).

На практике технологов интересует вопрос — насколько термические напряжения на поверхности тела больше, чем в его середине. Обозначим их отношение . Наиболее просто можно найти в стадии регулярного режима нагрева (РРН), который наступает при числах Фурье и когда вместо бесконечных сумм в уравнениях (4.3)…(4.8) можно ограничиться одним членом ряда. Тогда, деля уравнение (4.3) на (4.4) и учитывая упрощенные соотношения (4.83) и (4.84), получим

(4.87)

При числе .

Таким образом, в отличие от процесса нагрева плоских тел, когда при , термические напряжения на поверхности тела в 2 раза больше термонапряжений в центре, при нагреве цилиндрических тел напряжения в центральных точках тела примерно равны или чуть больше, чем на поверхности.