Рассмотрим численный пример, взятый из [7].
В печи необходимо
нагреть плиту толщиной 0,25 м из стали
со следующими теплофизическими
свойствами: = 29 Вт/(мК),
а = 0,6910-5 м2/с,
коэффициент теплоотдачи в печи = 122
Вт/(м2К),
температура печи
= 900 С;
Начальная температура плиты t0 = 0 °С.
Необходимо найти термические напряжения.
При перечисленных исходных данных число
Bi = 0,5. Пусть время
час. Число Фурье
.
Согласно уравнению
(4.23) при коэффициенте геометрической
формы k = 1
для пластины получим: m = 1+0,5/3 = 7/6;
D = 3/7;
ρ = D2/45 = 410-3;
γ ≈ 1+ρ = 1,004
и окончательно первый корень μ1 =
=0,6533.
Второй корень по формуле (3.104) при 
;
;
;
второй корень
.
Отношение корней
;
.
Разность квадратов
.
Амплитуды:
;
;
;
;
;
.
Температура на поверхности по уравнению (4.6)
,
где
;
.
Температура в центре по (4.7)
.
Среднемассовая по формуле (4.8)
.
Окончательно
термические напряжения на поверхности
по уравнению (4.3)
и в центре по (4.4)
.
Расчет
по уравнению (4.49) при
с учетом
,
рассчитанной по (3.27), дает
.
Полученные
результаты хорошо согласуются с данными
[7]
по которым
с погрешностью
и
с
.
Максимальные
времена с учетом коэффициентов по (4.36)
;
и
:
; 
и
.
Тогда максимальные напряжения по уравнениям (4.16)
и согласно (4.17)
EMBED Equation.3
.
4.2. Аналитический расчет термических напряжений при конвективном нагреве цилиндрических тел
В разделе 4.1
приведены аналитические решения для
расчета относительных термических
напряжений в любой точке неограниченной
пластины при ее конвективном нагреве
в печи с постоянной температурой греющей
среды
-
см. уравнения (4.1)…(4.55).
Из анализа этих уравнений следует, что динамика изменения напряжений во времени аналогична изменению температурной разности, т.е. резко возрастают, достигая максимального значения при числах Фурье Fomax=0,05…0,50, а затем постепенно падают, т.е. носят колоколообразный характер.
На практике иногда важнее знать не всю динамику изменения напряжений во времени, а только их максимально возможные характерные величины, например, на поверхности и в центре тела. Целью данного раздела является аналитическое определение указанных величин для цилиндрических тел.
В монографии Н.Ю. Тайца [7] показано, что для цилиндрических тел следует различать термические напряжения:
радиальные на поверхности
,
(4.56)
тангенциальные на оси
,
(4.57)
и осевые
.
(4.58)
Из одинаковости выражения (4.58) с формулой (4.2) вытекает, что формулы для расчета осевых напряжений в цилиндре совпадают с формулами (4.2)...(4.4) для пластины и можно ограничиться анализом этих уравнений. Поэтому задачу определения термических напряжений в цилиндре будем решать в предположении такой же их зависимости от температур на поверхности, в центре и среднемассовой как для плоских тел.
Для цилиндрических
тел будут справедливы уравнения
(4.2)...(4.8), (4.10), (4.11) для пластины с заменой
координатной функции
,
входящей в уравнение (4.5)
,
тепловых амплитуд
для уравнения (4.6),
— для (4.7) и
— для (4.8). Теперь корни
вместо (4.9) определяются из характеристического
уравнения:
,
(4.59)
где
и
— функция Бесселя первого рода нулевого
и первого порядка.
Дифференцируя уравнения (4.3), (4.4) и (4.10) по времени, приравнивая производную нулю и используя два члена суммы ряда, получим формулы для расчёта максимальных времен Фурье:
для максимального термического напряжения на поверхности
,
(4.60)
перепада температур
(4.61)
и термонапряжения в центре
, (4.62)
где
;
;
;
;
.
Здесь и далее под понимается амплитуда .
Подставляя Fоmах из (4.61) в уравнение (4.55), получим максимальный перепад температур с учётом двух членов ряда:
(4.63)
При выводе (4.63) было учтено, что согласно уравнению (4.61) .
По аналогии подставляя в уравнение (4.3), получим максимальное термическое напряжение на поверхности
(4.64)
и после подстановки (4.62) в (4.4) — максимальное напряжение в центре цилиндра
. (4.65)