4.1.2. Асимптотика при больших числах Био
Теперь корни
находим по уравнению (4.25). Тогда отношение
.
(4.39)
Разность квадратов корней
,
(4.40)
где
;
.
Амплитуды:
;
,
где
;
.
;
,
где
и
— амплитуды при
.
;
где
;
.
;
;
;
.
; 
; 
;
.
; 
; 
;
.
Теперь коэффициенты для расчета максимальных времен примут вид:
;
(4.41)
;
(4.42)
;
(4.43)
В предельном случае при :
;
;
.
(4.44)
Так как
лишено физического смысла, следует
взять
.
Тогда наименьшие
максимальные времена согласно (4.18) при
будут:
,
,
.
(4.45)
Подставляя (4.45) в уравнение (4.4), получим максимально возможное термическое напряжение в центре пластины
.
(4.46)
Термонапряжение
на поверхности при времени
перепад температур
=
и отношение напряжений в этот момент времени
.
Последнее несколько больше, чем отношение
,
которое получено для стадии РРН с учетом
первого члена ряда.
Следует отметить,
что если приближенно считать
,
то из уравнения (4.10) будем иметь
(4.47)
и это соотношение полностью совпадает с формулой Н.Ю. Тайца [7]
.
(4.48)
Из анализа уравнения
(4.41) вытекает, что коэффициент
меняет знак по причине изменения знака
амплитуды
,
изменяющейся от
при малых числах Био до
.
Из условия равенства нулю
можно получить граничное число
выше которого имеем случаи нагрева
термически «массивного» тела. Таким
образом, при числах
для определения времени
можно применять формулу (4.12) в которой
определяется по уравнению (4.41), а при
коэффициент
становится отрицательным и нельзя
пользоваться формулой (4.12).
Возникшую ситуацию можно объяснить следующим образом. Формулы (4.12)…(4.22) получены с учетом всего двух членов ряда. С ростом числа Био максимальное время уменьшается, вплоть до 0 при .
При
очень малых числах Фурье
расчёт
температур по уравнениям (4.3)…(4.11)
затруднителен из-за необходимости учета
большого количества членов ряда, ввиду
его плохой сходимости. В этом случае
для расчёта поверхностной и среднемассовой
температур можно использовать
формулы, полученные методом операционного
исчисления в работе 20
(см. уравнения (3.25)…(3.27))
С учетом сказанного уравнение (4.3) для расчета термических напряжений на поверхности примет вид
(4.49)
где .
Вместо уравнения
(4.6) будет (3.25), а вместо (4.8) — (3.27).
Температуру в центре тела на начальной
стадии нагрева (
)
приближенно можно принять
.
Дифференцируя
уравнение (4.49) по времени и приравнивая
производную нулю, получим при малых (
)
,
(4.50)
и больших аргументах
(
)
,
.
(4.51)
Таким образом, при больших числах Био ( ) расчет времени вместо (4.12) следует производить по уравнению (4.50) или (4.51).
Расчет
по (4.13) с учетом (4.42) даст
.
(4.52)
Иногда требуется
определить расположение координаты
нейтрального слоя в котором термические
напряжения меняют знак с
на
,
т.е. в этой точке равны нулю. Наиболее
просто это можно сделать в стадии РРН.
Тогда согласно уравнению (4.2)
или
.
Разрешая последнее
выражение относительно
,
получим
,
(4.53)
где
.
При малых числах
Био
.
Тогда с учетом тригонометрического
тождества
и разложения в ряд
,
будем иметь
.
(4.54)
При больших числах Био
и
.
(4.55)
В предельном случае
при
,
.
Таким образом, поскольку
нейтральные слои расположены несколько
ближе к поверхности, а само
колеблется в узких пределах — от 0,56 до
0,58.
Следует отметить,
что при нагреве абсолютные, т.е. размерные
термические напряжения
поменяют знаки за счет отрицательности
из-за
.
В заключение укажем, что все полученные решения описывают как процесс конвективного нагрева плоских тел, так и их охлаждение.