Анализ полученных решений
Формулы (4.12)…(4.14) однотипны и могут быть описаны одним уравнением
.
(4.18)
При
имеем расчет напряжений на поверхности
и в центре,
а при
— перепада температур. После определения
максимальных времен можно найти
соответствующие температуры при этих
числах Фурье с учетом двух членов ряда.
Подставляя
в уравнение (4.6), получим температуру
поверхности
,
(4.19)
в (4.7) — температуру центра
,
(4.20)
в соотношение (4.8) — среднемассовую
,
(4.21)
и в (4.11) перепад температур
.
(4.22)
Наибольшую и основную трудность при практических расчётах по уравнениям (4.2)…(4.22) представляет определение по соотношению (4.9) бесчисленного множества корней. В работе [6] приведена общая формула для расчета первого корня для тел простой формы
,
(4.23)
где
;
-коэффициент
термической массивности;
;
;
— коэффициент
геометрической формы, равный 1
– для
пластины, 2
–
цилиндра и
3 –
шара.
Для определения приближенных значений остальных корней следует различать два характерных случая нагрева – при больших и малых числах Био [3].
При малых числах Био (Bi < 3)
,
(4.24)
где
;
;
;
;
При больших числах
Био (
)
,
(4.25)
где
;
;
— см. уравнение (4.23);
;
.
При выводе (4.25)
было учтено, что при малых аргументах
.
В двух предельных
случаях — малые и большие числа Био,
полученные решения значительно
упрощаются. Предварительно упростим
расчет тепловой амплитуды
.
Используя тригонометрическое тождество
и
характеристическое уравнение (4.8), можно
записать
,
(4.26)
где
— n-ный
коэффициент термической массивности.
С учетом последнего выражения тепловая
амплитуда, входящая в уравнение (4.7)
определения температуры центра пластины
станет
.
(4.27)
Теперь получим упрощенные выражения для других амплитуд в двух предельных случаях.
4.1.1. Асимптотика при малых числах Био
Первый корень
уравнения (4.9) вычисляем по соотношению
(4.23) при
и
,
а второй — по (4.24). Тогда отношение
собственных чисел или коэффициентов
термической массивности
,
(4.28)
где
.
Разность квадратов
корней
.
Первая амплитуда, входящая в уравнение (4.6) температуры поверхности
.
(4.29)
По аналогии вторая
и
.
(4.30)
Амплитуда
согласно уравнению (4.27) и с учетом того,
что при малых аргументах
:
.
(4.31)
Амплитуда
.
Для среднемассовой температуры:
и
.
(4.32)
Для перепада температур по уравнению (4.11)
(4.33)
.
Для термических напряжений в центре пластины по (4.4)
(4.34)
Для термонапряжений на поверхности
(4.35)
С целью проверки
амплитуды
можно использовать равенство
.
Выражения для расчета максимальных времен по уравнению (4.18) также упростятся.
Коэффициент
поверхности
,
для перепада
температур
(4.36)
и центра
.
Анализ уравнений
(4.18) и (4.36) позволяет сделать вывод о том,
что максимум величин наступает в
последовательности
и с ростом числа Био эти времена
уменьшаются.
Для оценки различия максимальных времен составим их разности:
(4.37)
и
Из (4.37) следует,
что с ростом числа Био различия
максимальных времен увеличиваются,
вплоть до
– см. уравнение (4.45).
На практике
технологов интересует вопрос — насколько
термические напряжения на поверхности
тела больше, чем в его середине. Обозначим
их отношение
.
Наиболее просто
можно найти в стадии регулярного режима
нагрева (РРН), который наступает при
числах Фурье
и когда вместо бесконечных сумм в
уравнениях (4.3)…(4.11) можно ограничиться
одним членом ряда. Тогда, деля уравнение
(4.3) на (4.4) и учитывая упрощенные соотношения
(4.34) и (4.35), получим
(4.38)