3.2.2 Нагрев термически массивных тел

Из определения числа Био следует, что его очень большие значения могут иметь место в основном при очень больших коэффициентах теплоотдачи, а также при больших размерах толщины пластины и малых значениях коэффициента те­плопроводности. Поэтому нагрев при больших числах Био (практически при Bi≥100) принято называть нагревом "термически массивного" тела (ТМТ). Примеры таких тел: закалка изделий в жидких расплавах, разогрев массивных огнеупорных футеровок нагревательных и других печей, стале- и чугуноразливочных ковшей.

При больших числах Био температура поверхности пластины почти сразу становится равной температуре окружающей среды, в которую она помещена.

При больших числах Био для определения первого корня следует вместо (3.9) пользоваться уравнением (3.12):

, (3.64)

где - перевернутое число Био; .

Начальная тепловая амплитуда с учетом (3.64) станет

, (3.65)

где .

Амплитуда для расчета среднемассовой температуры при больших Био

, (3.66)

где - минимальное значение амплитуды М₁, которое получается в предельном случае .

Для расчета центральной амплитуды предварительно получим уравнение, аналогичное (3.42), но пригодное для расчетов при больших Био.

(3.67)

Тогда

, (3.68)

где - максимальное предельное значение А₁ при .

Далее расчет нагрева (охлаждения) ТМТ производится по уравнениям (3.19)…(3.22) в стадии РРН, но с учетом асимптотических выражений (3.64)…(3.68), удобных для вычислений при больших числах Био.

Так, например, расчеты по формулам (3.21) и (3.60) при приводит к неопределенности типа 0/0 и , однако использование выражений (3.66)…(3.68) устраняет указанные недостатки.

Уравнение (3.15) по расчету температур в центре с учетом (3.68) преобразуется к виду

, (3.69)

а уравнение для среднемассовой с учетом (3.66) станет

, (3.70)

где ; ; ;

,  - центральная и среднемассовая температуры соответственно для “чисто массивного” тела, нагреваемого в режиме или .

Формулы для расчета времени нагрева при больших числах Био преобразуются следующим образом.

Уравнение (3.34) с учетом (3.64) и (3.66) примет вид

, (3.71)

а уравнение (3.35) с учетом (3.68) станет

. (3.72)

Следует отметить весьма характерную особенность, возникающую при расчетах времени нагрева по формулам (3.71) и (3.72). Если при расчете времени нагрева до заданной температуры (3.32) поверхности вести по выражению (3.36), то получается естественный результат и вывод : с ростом числа Био время нагрева уменьшается и стремится к нулю при . Однако, при расчетах времени нагрева до заданных среднемассовой и центральной температур существует минимально возможные времена нагрева, которые получаются из уравнений (3.71), (3.72) в предельном случае при

(3.73)

и

(3.74)

ниже которых время нагрева опуститься не может.

Получим формулы для расчета времени инерционного периода при больших числах Био. Обозначим через максимально возможное значение постоянной , которое определяется из уравнения (3.30) при :

. (3.75)

Например, при расчет на ЭВМ по уравнению (3.75) даст . По первому способу используем уравнение (3.30) и применим согласно [20] разложение функции ошибок в ряд при больших аргументах, т. к. согласно (3.54) постоянная и следует ожидать, что будет .

Уравнение (3.30) с учетом сказанного примет вид

. (3.76)

В пределе при решение по уравнению (3.76) должно давать , поэтому можно предложить следующую приближенную формулу для расчета :

. (3.77)

При известной время инерционного периода легко определяется по уравнению (3.29)

, (3.78)

где - время иррегулярного режима нагрева в случае , при .

Найдем время вторым способом из уравнения (3.72) для стадии РРН при :

, (3.79)

где - минимальное предельное время, найденное из формул, описывающих регулярную стадию нагрева. Оценим степень различия величин, найденных различными способами, например, при степени прогрева . Погрешность в определении постоянной :

, а отличие при расчете инерционного времени . Эти отличия можно объяснить тем, что при числах Фурье стадия РРН еще не наступила ( это будет при - см. уравнение (3.16)) и при расчетах следует брать два члена ряда (3.14).

Усредним постоянную . Тогда, при расчетах и по формулам (3.77)…(3.79) можно принять и .

Результаты численного решения методом Ньютона [1] уравнения (3.75) при различных степенях прогрева представлены в таблице 3.1. Там же приведены значения и для сравнения такие же величины, рассчитанные по уравнениям РРН (3.79) и .

Таблица 3. 1 – Значения постоянной и времени инерционного

периода в зависимости от степени прогрева центральных точек тела при ( ).

Степень прогрева , %	0,5	1,0	5,0	10,0	15,0	20,0
	1,99	1,82	1,386	1,16	1,02	0,91
	0,063	0,075	0,129	0,186	0,240	0,302
	1,58	1,57	1,451	1,33	1,24	1,15
	0,100	0,102	0,119	0,141	0,164	0,188

Оценим граничное число , когда тело можно считать термически массивным. Первая оценка была найдена ранее из требования ограничения расчетов по формуле (3.33). С другой стороны, можно поступить аналогично как при установлении когда тело считается термически тонким. Положим Bi=10 и найдем погрешности расчетов по формулам (3.64)…(3.68) по сравнению с точным решением. Тогда, при первый корень и погрешность . Далее , и .

Таким образом, максимальная погрешность (как и ранее при малых числах Био) наблюдается при расчетах М₁ и не превышает 2% и следовательно, термически массивным можно считать нагрев при

При средних числах Био, когда 0,1≤Вi≤100 для расчетов следует исполь­зовать более сложные общие решения (3.4, 3.7, 3.13…3.19).

После расчета безразмерных величин делается переход к размерным, со­гласно формулам их определения:

- для температур t = t_ж +(t₀ – t_ж)  , C;

- для времени  = Fо  ²/ a, с . (3.80)