Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА изменённый вариант (вариант WORD...docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
6.13 Mб
Скачать

1.3.4.Нагрев тел при граничных условиях третьего рода

Рассмотрим простейший случай нагрева плоской неограниченной стенки, толщина которой значительно меньше двух других ее размеров. Стенка, имеющая по сечению температуру внезапно нагревается средой постоянной температуры (рис.1.9). Выведем аналитические зависимости, позволяющие определять температурное поле пластины в лю-бой момент времени. Используем уравнения:

(1.48)

(1.49)

(1.50)

где

Уравнения (1.49) и (1.50) определяют краевые условия задачи.

Решая систему уравнений (1.48) - (1.50), было получено выражение

(1.51)

где - корни уравнения , причем таких корней бесконечное множество.

Учитывая, что то уравнение (1.51) примет вид:

(1.52)

где

Для средней плоскости пластины, т.е. при уравнение (1.52) имеет вид:

(1.53)

для поверхности пластины при

(1.54)

Выражение средней по массе температуры пластины приводится без вывода. Это уравнение позволяет определить количество теплоты воспри-нятой пластиной в процессе нагрева:

(1.55)

Уравнения (1.53)-(1.55) представляют собой очень быстро сходящиеся ряды. Сходимость их возрастает вместе с увеличением . Даже при ряд может быть заменен первым членом. Такой режим нагрева называется регулярным. В этом случае для пластины

(1.53/)

(1.54/)

(1.55/)

Значения можно найти в табл.1.1, составленной Д.В.Будриным. В этой таблице приведены значения в зависимости от . По данным табл.1.1 построены графики расчета нагрева или охлаждения средней плос-кости, массы и поверхности пластины (рис.1.10-1.12).

1.3.5.Анализ решения уравнения Фурье

Проведем его на примере пластины. Рассмотрим общее уравнения распределения температур при и

Из табл.1.1 видно, что значения незначительно отличаются друг от друга и близки к единице. Следовательно,

(1.56)

Таким образом, при малых значениях температура внутри тела и на его поверхности практически одинакова. В этом случае скорость нагревания или охлаждения мало отличается от скорости нагревания или охлаждения тонкого тела, обладающего бесконечно большой теплопроводностью.

Выведем уравнение для определения времени нагрева тонкой пластины. Для этого преобразуем уравнение (1.56). Согласно табл.1.1 при

= . Получаем

(1.57)

где - критерий Михеева, представляющий собой произведение . Преобразовав это уравнение в отношении времени нагрева, получим

. (1.57/)

Вывод последнего уравнения легко показать на примере преобразования выражения (1.56)

.

Из этого уравнения видно, что время нагрева или охлаждения тонкого тела пропорционально линейному размеру в первой степени. Если произ-вести аналогичные выводы для цилиндра и шара, то окажется, что при цилиндр нагревается или охлаждается в два раза, а шар в три раза быстрее пластины.

Таблица 1.1

Коэффициенты для расчета нагрева или охлаждения

пластины толщиной

0,00

0,01

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,22

0,24

0,26

0,28

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

0,000

0,0100

0,0199

0,0397

0,0584

0,0778

0,0968

0,1154

0,1337 0,1518

0,1697

0,1874

0,2048

0,2220

0,2390

0,2558

0,2723

0,3125

0,3516

0,3894

0,4264

0,4624

0,4970

0,5640

0,626

0,684

0,740

0,841

0,931

1,016

1,090

1,162

1,000

0,997

0,993

0,987

0,981

0,974

0,967

0,960

0,954

0,948

0,942

0,936

0,930

0,924

0,918

0,912

0,906

0,891

0,877

0,863

0,849

0,836

0,823

0,798

0,774

0,751

0,729

0,689

0,653

0,619

0,587

0,559

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,999

0,999

0,999

0,999

0,998

0,998

0,997

0,996

0,995

0,994

0,992

0,990

0,998

0,986

0,981

0,977

0,972

0,968

0,964

1,000

1,002

1,003

1,006

1,010

1,013

1,016

1,020

1,023

1,026

1,029

1,031

1,034

1,037

1,040

1,042

1,045

1,052

1,058

1,064

1,070

1,076

1,081

1,092

1,102

1,111

1,119

1,134

1,148

1,159

1,169

1,179

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

-

1,162

1,222

1,277

1,332

1,380

1,420

1,52

1,59

1,66

1,73

1,78

1,82

1,90

1,95

2,00

2,04

2,08

2,12

2,16

2,20

2,24

2,27

2,30

2,33

2,35

2,37

2,39

2,40

2,41

2,41

2,42

2,47

0,559

0,535

0,510

0,488

0,468

0,448

0,406

0,370

0,338

0,314

0,293

0,273

0,241

0,216

0,196

0,180

0,152

0,132

0,116

0,104

0,094

0,076

0,065

0,056

0,050

0,0400

0,0333

0,0286

0,0250

0,0222

0,0200

0,0000

0,964

0,960

0,956

0,952

0,948

0,944

0,935

0,926

0,919

0,912

0,906

0,901

0,892

0,885

0,879

0,874

0,866

0,859

0,855

0,851

0,847

0,841

0,836

0,832

0,829

0,826

0,824

0,822

0,820

0,819

0,818

0,810

1,179

1,186

1,193

1,200

1,205

1,210

1,221

1,229

1,235

1,240

1,244

1,248

1,254

1,257

1,260

1,262

1,265

1,267

1,268

1,269

1,270

1,271

1,271

1,272

1,272

1,272

1,273

1,273

1,273

1,273

1,273

1,273

Анализ табл.1.1 и формулы (1.54/) показывает, что при коэф-фициент стремится к нулю. Следовательно, Таким образом, при больших значениях поверхность тела очень быстро приобретает темпе-ратуру, равную температуре среды.

Этот случай возможен, если тело имеет очень большие размеры или большой коэффициент теплоотдачи (охлаждение или нагрев в жидких средах) и малый коэффициент теплопроводности.

Расчеты нагрева или охлаждения массивной пластины следует производить по уравнениям (1.53)-(1.55) или по графикам (см. рис.1.10-1.12).