1.6 Осьсіз эпюр

Қарастыру объектісі оның кеңістікте орналасуы емес, ал нүктелердің өзара орналасуымен анықталатын оның пішіні болып табылған жағдайларда, координаталар басының және координаталық осьтердің орналасуы анықтаушы рольді атқармайды. Шын мәнінде координаталардың басы О нүктесінде немесе О₁ нүктесінде (9, а-сурет) орналасқан кезде X, Y, Z координаталарының өздері өзгерсе де, Х, Y және Z мәні өзгермейді. Орынды сұрақ туындайды: егер олардың орналасуы объект пішініне әсер етпесе, мұндай жағдайда кескінге осьтер мен координаталардың басын не үшін салу керек? Бұдан – оларды кескінде белгілемей X, Y, Z координаталарының айырымы бойынша салынатын осьсіз эпюрге (осьтерсіз эпюрге, 9, б-сурет) тура өтеміз.

Қорытындысында, өнеркәсіптік сызбалар өзінің мәні бойынша өзге емес, объектілердің осьсіз эпюрлері ретінде болатынын атап кетейік. Міне, сызба геометрия және инженерлік графика арасындағы түпкілікті байланыс осыдан тұрады.

9, б-сурет

9, а-сурет

2-БӨЛІМ ТҮЗУЛЕРДІ ПРОЕКЦИЯЛАУ

Түзуді проекциялау үшін, оған тиесілі кез-келген екі нүктені проекция-лау жеткілікті. Бұл жағдайда l түзуі АВ кесіндісімен берілген.

Түзудің H, V, W проекцияларының жазықтықтарына қатысты орналасуы бойынша жалпы және жеке орналасқан түзулерді ажыратады.

Ж алпы орналасқан түзу проекциялар жазықтықтарының біреуіне де параллель емес және перпендикуляр емес (10, а-сурет), яғни мұндай түзу проек-цияларының біреуі де ешқандай координата осіне параллель емес және перпен-дикуляр емес (10, б-сурет). АВ кесіндісінің ұзындығы және оның проекциялар жазықтықтарына көлбеу бұрыштары натурал көлемінде көрсетілмейді.

10, а-сурет

10, б-сурет

Жеек орналасқан түзулер деңгейлі түзулерге бөлінеді – проекциялардың қандай да бір жазықтығына параллель, және проекциялаушы – проекциялардың бір мезгілде екі жазықтығына параллель, және осыдан, оған қатысты олар проекциялаушы болып табылатын, проекциялардың үшінші жазықтығына перпендикуляр.

H проекциясының горизонталь жазықтығына параллель түзу «горизон-таль» деп аталады (11, а-сурет). Оның l’’ фронталь және h''' профиль проекция-лары х осіне параллель (-х=y) (11,б-сурет), ал l’ горизонталь проекциясы V және W проекцияларының жазықтықтарына перпендикуляр орыннан басқа,

11, а-сурет

11, б-сурет

кез-келген орында бола алады. l түзуі H проекциясының жазықтығына параллель болғандықтан, оның Н жазықтығындағы АВ кесіндісі нақты көлемінде көрсетіледі, ал h горизонтальдың h’ горизонталь проекциясы және х осі (немесе оған параллель сызықтың) арасындағы бұрыш дегеніміз – горизон-тальдың көлбеу бұрышының V проекциясының фронталь жазықтығына нақты көлемі. Осыған ұқсас түрде, h горизонтальдың h’ горизонталь проекциясы және y осі арасындағы бұрыш дегеніміз – бұл h горизонтальдың көлбеу бұрышының W проекциясының фронталь жазықтығына нақты көлемі.

V проекцияларының фронталь жазықтығына параллель түзу «фронталь» деп аталады (12, а-сурет). Оның f’ горизонталь проекциясы x осіне параллель және f’’’ профиль – z осіне параллель, ал f’’ фронталь проекциясы, H және W жазықтықтарына қатысты перпендикулярдан басқа, кез-келген орында бола алады. Проекциялардың фронталь жазықтығына оның АВ кесіндісі нақты көлеміне проекцияланады. f фронтальдың f’’ фронталь проекциясының x осіне көлбеу бұрышы дегеніміз – бұл f фронтальдың H проекциясының горизонталь жазықтығына көлбеу бұрышының нақты көлемі, ал z осіне – фронтальдың W проекциясының профиль жазықтығына көлбеу бұрышының нақты көлемі.

W проекциясының профиль жазықтығына параллель түзу «профиль» немесе «профиаль» деп аталады (13, а-сурет). Оның w’’ фронталь және w’

12, а-сурет

12, б-сурет

г

13, а-сурет

13, б-сурет

оризонталь проекциялары (13, б-сурет) z (-z) осіне параллель, ал w’’’ профиль п роекциясы кез-келген орында бола алады (H, V жазықтықтарына перпенди-кулярдан басқа). Оның кесіндісінің А’’’B’’’ профиль проекциясы дегеніміз – АВ кесіндісі ұзындығының нақты көлемі. Профиальдың w’’’ профиль проекция-сының z осіне көлбеу бұрышы дегеніміз – бұл w профиальдың V проекция-сының фронталь жазықтығына көлбеу бұрышының нақты көлемі, ал у осіне - оның H проекциясының жазықтығына көлбеуінің нақты көлемі.

Н проекциясының горизонталь жазықтығына перпендикуляр (және осыдан, V және W проекцияларының жазықтығына параллель) түзу «горизон-таль-проекциялаушы» деп аталады (14, а-сурет). Оның l’’=(A’’B’’) фронталь және l’’’=(A’’’B’’’) профиль проекциялары (14, б-сурет) x (-xy) осіне перпенди-куляр, ал горизонталь – l’= (A’) = (B’) нүктесіне айналады, ол l түзуінің өзінің және оның кесіндісінің оларды осы түзудің кез-келген жоғарыда орналасқан нүктелері жабатындығынан, көрінбейтіндей (жақшаның ішінде) көрсетілген, А және В нүктелерінің проекциясын білдіреді. l түзуі V және W проекциялары-ның жазықтықтарына параллель болғандықтан, осы жазықтықтағы АВ кесінді-сінің проекциялары дегеніміз оның ұзындығының нақты көлемдері.

14, а-сурет

14, б-сурет

Проекциялардың фронталь жазықтығына перпендикуляр (және осыдан, H және W ||) түзу «фронталь-проекциялаушы» деп аталады (15, а-сурет). Оның l’= =(A’B’) горизонталь және l’’’=(A’’’B’’’) профиль проекциялары у осіне парал-лель (15, б-сурет), ал фронталь – l’’=(В’’)=(А’’) нүктесіне айналады. A’B’ және А’’’B’’’ проекцияларының ұзындығы дегеніміз – АВ кесіндісі ұзындығының нақты көлемі.

W проекциясының профиль жазықтығына перпендикуляр (және осыдан H және V ||) түзу профиль-проекциялаушы деп аталады (16, а-сурет). Оның фрон-таль және горизонталь проекциялары (16, б-сурет) x осіне параллель, ал профиль проекциясы l’’’=A’’’=B’’’ нүктесін білдіреді. A’’B’’ және A’B’ п роекцияларындағы кесінділердің ұзындығы дегеніміз кеңістіктегі АВ кесіндісі ұ зындығының нақты көлемі.

15, а-сурет

15, б-сурет

16, а-сурет

16, б-сурет

Біз l түзуінің және оның АВ кесіндісінің барлық мүмкін болатын орындарын қарастырдық. Кешенді сызбада жеке орналасқан түзулердің ерекше белгісі келесі болып табылады: олардың проекцияларының минимум біреуі (екі жазықтықты сызба) немесе екеуі (үш жазықтықты кескін үшін) қандай да бір координаталық осьтерге не параллель, не перпендикуляр болу керек. Проекциялаушы түзулер үшін проекциялардың біреуі міндетті түрде нүктемен көрсетілу керек. Сонымен бірге, екі жазықтықты сызбаны оңай сызатын студенттер үшін, 10-16-суреттерде оның zy осьтерімен бірге проекциялардың профиль жазықтығына жататын, барлық кескіндерді ойша алып тастауды ұсынылатынын қосамыз.

10-16-суреттерде материалды қабылдауды жеңілдету үшін түзулердің көрнекті кескіндері («а» индексімен) және олардың эпюрлері («б» индексімен) берілген. Студенттердің осыған ұқсас кескіндерді «б» индексімен қарастыруы кеңістіктік картинаны «а» индексімен көрнекті беруге әкелетін дәрежеге дейін, оларға жұп кескіндердің әрқайсысын мұқият зерделеу ұсынылады.

Қорытындысында, жеке орналасқан түзулердің өз проекцияларында жалпы орналасқан түзулер кесінділерінің проекцияларында болмайтын, кесінді-лер ұзындықтарының нақты көлемдері және олардың проекциялар жазықтық-тарына көлбеу бұрыштары туралы ақпарат болатынын атап кетейік. Осыдан, бірқатар метрлік есептерді шешу үшін түзулерді және басқа геометриялық объектілерді жалпы орналасуынан жеке орынға ауыстырудың графикалық әдістерін қолдану керек.

3-БӨЛІМ ЖАЗЫҚТЫҚТЫ ПРОЕКЦИЯЛАУ

3.1 Жазықтықты беру

Жазықтық қарапайым бет болып табылады. Жалпы жағдайда кеңістіктегі және сызбадағы жазықтық келесі тәсілдердің біреуімен берілу керек:

а) егер бұл нүктелерді түзулердің кесінділерімен қосса, бір түзуде жатпайтын үш нүктемен немесе үшбұрышпен -  (А, В, С), 17-сурет;

б) түзумен және одан тыс нүктемен -  (m, C), 18-сурет;

в) екі параллель түзумен -  (m || n), 19-сурет;

г) екі қиылысушы түзумен -  (m ∩ n), 20-сурет;

д) жазық фигурамен  (’’, ’), 21-сурет;

е) іздермен -  (_V, _H), 22-сурет.

17-сурет

18-сурет

19-сурет

20-сурет

«б», «в», «г» тәсілдерінің «а» тәсіліне оңай келтірілетінін көру қиын емес, яғни өзінің алуан түрлерімен сол және бір тәсілді білдіреді. Ал жазық-тықты іздермен беру жеке қарастыруды талап етеді.

21-сурет

3.2 Жазықтық іздері

 жазықтығының ізі деп оның проекциялар жазықтығымен қиылысу сызығы аталады. Проекциялардың бірде-бір жазықтығына параллель емес және перпендикуляр емес жазықтық, міндетті түрде проекциялар жазықтықтарының әрқайсысын бір жерде қиып өтеді. Осыдан, мұндай жазықтықтың проекциялар жазықтықтарының саны бойынша (H, V, W) 3 ізі бар, 22, а-сурет. Онда _V, _H, _W – сәйкес түрде  жазықтығының фронталь, горизонталь және профиль ізде-

22, а-сурет

22, б-сурет

рі, ал А_X, А_Y, A_Z нүктелері – іздердің тоғысу нүктелері. Г. Монж эпюріне өткен

кезде 22, б-суретте көрсетілген кескінді аламыз. Элементар геометриялық объект кез-келген екі проекциямен бір мағыналы берілетіндіктен, z және y осьтерімен және _Z, _Y нүктелерімен бірге _W профиль ізін алып тастауға болады.

3.3 Жазықтықтардың жіктелуі

Кеңістікте орналасуы бойынша проекциялар жазықтықтарының біреуіне де параллель емес және перпендикуляр емес, жалпы орналасқан жазықтықтар-ды және жеке орналасқан жазықтықтарды ажыратады. Өз кезегінде, жеке орналасқан жазықтықтар проекциялаушы (проекциялар жазықтығының тек біреуіне ғана перпендикуляр) және деңгейлерге (проекциялардың бірден екі жазықтығына перпендикуляр және, осыдан, оған қатысты жазықтықтың атауы да берілетін, проекциялардың үшінші жазықтығына параллель) бөлінеді.

3.3.1 Проекциялаушы жазықтықтар

П роекциялардың көлденең жазықтығына перпендикуляр жазықтық «көл-денең-проекциялаушы» деп аталады (23-сурет). Оның _V фронталь ізі х осіне

23, а-сурет

23, б-сурет

перпендикуляр, ал _Н горизонталь ізі х осіне перпендикуляр емес, ерікті орында бола алады. Эпюрде (23, б-сурет) _Н горизонталь ізінің х осіне β⁰  көлбеу бұрышы дегеніміз проекциялардың фронталь жазықтығының β⁰_* бұрышының, жазықтықтың  _к көлбеуінің нақты шамасы.

Горизонталь-проекциялаушы жазықтықта орналасқан, кез-келген нүкте (не А, не В, не С), түзу (не АВ, не ВС, не АС) немесе жазық фигура (АВС), оның _Н горизонталь ізінде көрсетіледі.   Н жазықтығындағы мұндай нүкте-лердің шексіз жиыны алынуы мүмкін болғандықтан, оның _Н горизонталь ізі мәні бойынша бір мезгілде оның барлық нүктелерінің және осыдан, жазықтық-тың өзінің горизонталь проекциясы болып табылады. Сондықтан _Н «із-проекция» қосарлы атауы және _Н = ’ қосарлы белгісі бар. Қорытындысында іс жүзінде бұл проекциялар, сөзсіз бар болса да, кескінді берілген жағдай үшін елеусіз ақпаратпен толтырмау үшін, 23, а-суретте АВС нүктелерінің фронталь проекциялары көрсетілмегенін атап кетейік.

Проекциялардың фронталь жазықтығына перпендикуляр жазықтық «фронталь-проекциялаушы» деп аталады (24-сурет). Оның _Н горизонталь ізі х осіне перпендикуляр, ал фронталь ізі – проекция х осіне перпендикуляр емес,

24, а-сурет

24, б-сурет

ерікті орында бола алады. Онда орналасқан кез-келген жазық объектілер оның фронталь ізінде – _V = ’’ проекциясында көрсетіледі. х осіне _V = ’ көлбеуі дегеніміз – Н проекциясының горизонталь жазықтығына  жазықтығының β⁰_* көлбеу бұрышының нақты шамасы.

П

25, а-сурет

25, б-сурет

роекциялардың профиль жазықтығына перпендикуляр жазықтық «про-филь-проекциялаушы» деп аталады (25-сурет). Онда орналасқан жазық объект профиль ізде - _W = ’’’ (А’’’B’’’C’’’) проекциясында көрсетіледі, ал үш жазықтықты кескін (берілген жағдай үшін) проекциялардың горизонталь және фронталь жазықтықтарына сәйкес осы жазықтықтың β және  көлбеу бұрыш-тарын көрсетуге мүмкіндік береді.

3.3.2 Деңгей жазықтықтары

Проекциялардың горизонталь жазықтығына параллель, және осыдан, проекциялардың фронталь және профиль жазықтықтарына перпендикуляр жазықтық «деңгейдің горизонталь жазықтығы» деп аталады (26-сурет). Оның фронталь және 26-суретте көрсетілмеген профиль із-проекциялары горизонталь орында болады, ал горизонталь ізі жоқ.  горизонталь жазықтығында орна-ласқан, АВС жазық фигурасы, V және W проекцияларында – түзулер кесін-ділерімен, ал Н проекциясында нақты шаманың үшбұрышымен көрсетіледі.

Деңгейдің фронталь жазықтығы үшін (27-сурет) горизонталь із-проекция z осіне параллель, ал фронталь із жоқ. Онда орналасатын АВС үшбұрышы

26, а-сурет

26, б-сурет

проекциялардың фронталь жазықтығына нақты шамада көрсетіледі.

Д еңгейдің профиль жазықтығында орналасқан жазық фигура (28-сурет) проекциялардың профиль жазықтығына - нақты шамада, фронталь және гори-

27, а-сурет

27, б-сурет

зонталь із-проекциялар түзулер кесінділерімен көрсетіледі.

28, а-сурет

28,б-сурет